Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho 3 điểm \[A\left( { - 2;1} \right),{\rm{ }}B\left( {4;3} \right),{\rm{ }}M\left( {x;y} \right)\].

a) Tìm tọa độ các vectơ \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} ,{\rm{ }}\overrightarrow v  = \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} \].

b) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho vectơ \(\overrightarrow u \) và vectơ \(\overrightarrow {OI} \) cùng phương.

a) Ta có \[\overrightarrow {MA}  = \left( { - 2 - x;1 - y} \right)\] và \[\overrightarrow {MB}  = \left( {4 - x;3 - y} \right)\]

Do đó \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \left( {2 - 2x;4 - 2y} \right)\] và \[\overrightarrow v  = \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \left( { - 6; - 2} \right)\].

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 2 + 4}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI}  = \left( {1;2} \right)\).

Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {OI} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow u  = k\overrightarrow {OI} ,\,\,\,k \in \mathbb{R},k \ne 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 2x = k.1\\4 - 2y = k.2\end{array} \right. \Rightarrow 4 - 2y = 2\left( {2 - 2x} \right) \Leftrightarrow y = 2x\)

Vậy tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng \[\left( d \right):{\rm{ }}y = 2x\].