Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình: \(x + 3y - 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng qua \(A\left( { - 2;\,0} \right)\) và tạo với \(\left( d \right)\) một góc \(45^\circ \).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm; \(\overrightarrow n  = \left( {A;\,\,B} \right)\) là VTPT của \(\Delta \) \(\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\).

Đường thẳng \(\left( d \right)\): \(x + 3y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;\,\,3} \right)\).

Để \(\Delta \) tạo với \(\left( d \right)\) một góc \(45^\circ \) thì:

\(\cos 45^\circ  = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow 2{\left( {A + 3B} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2B\\B =  - 2A\end{array} \right.\) .

+ Với \(A = 2B\), chọn \(B = 1 \Rightarrow A = 2\) ta được phương trình \(\Delta :\,2x + y + 4 = 0\).

+ Với \(B =  - 2A\), chọn \(A = 1 \Rightarrow B =  - 2\) ta được phương trình \(\Delta :\,x - 2y + 2 = 0\).