B. Tự luận

Ông A có một mảnh vườn hình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\) có khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1}{F_2} = 40\;{\rm{m}}\) và tổng khoảng cách đo được từ một điểm \(M\) bất kì thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng 50 m. Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn bán kình 15 m tiếp xúc trong với Elip (tham khảo hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông nuôi gà, nửa bên ngoài đường tròn ông làm đường đi. Tính diện tích phần làm đường đi. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức \(S = \pi ab\) với độ rộng của đường Elip, đường tròn là không đáng kể.

Lời giải

Giả sử \(\Delta \) cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right),a > 0,b > 0\)\( \Rightarrow \Delta :\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Vì \(\Delta \) đi qua \(M\left( { - 2;2} \right) \Rightarrow \frac{{ - 2}}{a} + \frac{2}{b} = 1\) (1).

Mà \({S_{\Delta ABO}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{{ab}}{2} = 1 \Leftrightarrow ab = 2 \Rightarrow b = \frac{2}{a}\left( 2 \right)\).

Thay \(\left( 2 \right)\) vào (1) ta được \(\frac{{ - 2}}{a} + \frac{2}{{\frac{2}{a}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{a} + a = 1 \Leftrightarrow {a^2} - a - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\a = 2\end{array} \right. \Rightarrow a = 2\).

Với \(a = 2 \Rightarrow b = 1\). Do đó \(\Delta :\frac{x}{2} + \frac{y}{1} = 1\).

Lời giải

a) Đường thẳng \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Có \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({d_1}\).

Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x + 2} \right) + 2y = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2 = 0\).

c) Có \(\overrightarrow {EF}  = \left( {4; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_{EF}}}  = \left( {1;4} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {EF}  = \left( {4; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{EF}}}  = \left( {1;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(EF\).

Phương trình đường thẳng \(EF\) là \(\left( {x + 3} \right) + 4\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 4y - 13 = 0\).

Tọa độ điểm \(K\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 13 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{3}\\y = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow K\left( { - \frac{1}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

Ta có \(KE = \sqrt {{{\left( { - 3 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt {17} }}{3}\); \(KF = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {3 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).

Vậy \(\frac{{KE}}{{KF}} = 2\).

d) Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và có \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(a\left( {x + 2} \right) + by = 0 \Leftrightarrow ax + by + 2a = 0\).

Vì đường thẳng qua \(M\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) cân tại \(A\) nên góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và \({d_2}\) bằng góc giữa đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\Delta ,{d_2}} \right) = \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 5ab + 2{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}b\\a =  - 2b\end{array} \right.\).

TH1: \(a =  - \frac{1}{2}b\). Chọn \(b =  - 2 \Rightarrow a = 1\). Khi đó \(\Delta :x - 2y + 2 = 0\) (chọn).

TH2: \(a =  - 2b\). Chọn \(b =  - 1 \Rightarrow a = 2\). Khi đó \(\Delta :2x - y + 4 = 0\) (loại).

Vậy \({a^2} - 5{b^2} =  - 19\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;   c) Đúng;    d) Đúng.