B. Tự luận

Ông A có một mảnh vườn hình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\) có khoảng cách giữa hai tiêu điểm \({F_1}{F_2} = 40\;{\rm{m}}\) và tổng khoảng cách đo được từ một điểm \(M\) bất kì thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng 50 m. Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn bán kình 15 m tiếp xúc trong với Elip (tham khảo hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông nuôi gà, nửa bên ngoài đường tròn ông làm đường đi. Tính diện tích phần làm đường đi. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức \(S = \pi ab\) với độ rộng của đường Elip, đường tròn là không đáng kể.

Lời giải

Theo đề ta có \({F_1}{F_2} = 2c = 50 \Rightarrow c = 25\) và \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 100 \Rightarrow a = 50\).

Lại có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = {50^2} - {25^2} = 1875\).

Vậy elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{2500}} + \frac{{{y^2}}}{{1875}} = 1\).

Lời giải

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\).

\(B\) đối xứng với \(A\) qua \(M\), suy ra \(B = \left( {3; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\) và vuông góc với đường thẳng \(6x - y - 4 = 0\) có phương trình là

\(x + 6y + 9 = 0\).

Tọa độ trung điểm \(N\) của đoạn thẳng \(BC\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\x + 6y + 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {MN}  = \left( { - 4; - 3} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(3x - 4y + 5 = 0\).