Cho Elip \[\left( E \right):9{x^2} + 16{y^2} = 144\;\], với \[M\] là điểm thuộc elip biết \[\widehat {{F_1}M{F_2}} = 60^\circ \]. Tính \[M{F_1}.M{F_2}\]?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[9{x^2} + 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\].

Khi đó \[a = 4;\,b = 3;\,c = \sqrt 7  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{F_1}\left( { - \sqrt 7 ;\,0} \right)\\{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;\,0} \right)\\{F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt 7 \\M{F_1} + M{F_2} = 8\end{array} \right.\]

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \[M{F_1}{F_2}\] ta có:

\[{F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - 2M{F_1}.{\rm{ }}M{F_2}.cos\widehat {{F_1}M{F_2}}\]

\[ \Leftrightarrow 28 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - 2M{F_1}.M{F_2}.cos60^\circ \]

\[ \Leftrightarrow \;28 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - M{F_1}.M{F_2}\]

\[ \Leftrightarrow M{F_1}^2 + M{F_2}^2 + 2M{F_1}.M{F_{2\;}} - 3M{F_1}.M{F_2} = 28\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)^{2\;}} - 3M{F_1}.M{F_2} = 28\]

\[ \Leftrightarrow 64 - 3M{F_1}.M{F_2} = 28\]

\[ \Leftrightarrow M{F_1}.M{F_2} = 12\].