Cho Elip \[\left( E \right):9{x^2} + 16{y^2} = 144\;\], với \[M\] là điểm thuộc elip biết \[\widehat {{F_1}M{F_2}} = 60^\circ \]. Tính \[M{F_1}.M{F_2}\]?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số các hoán vị về màu bi khi xếp thành dãy là: \[3!\];

Số cách xếp \[3\] viên bi đen khác nhau thành dãy là: \[3!\];

Số cách xếp \[4\] viên bi đỏ khác nhau thành dãy là \[4!\];

Số cách xếp \[5\] viên bi xanh khác nhau thành dãy là \[5!\];

Vậy nên số cách xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là \[3!.3!.4!.5! = 103\,\,680\] cách.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến \[\left( \Delta  \right)\] song song với đường thẳng \[y = 2x - 1\] là \[y - 2x + c = 0\].

Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {1;\,0} \right)\] và bán kính \[R = 3\].

Theo giả thiết, ta có: \[d\left( {I;\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {n - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2 - 3\sqrt 5 \\c = 2 + 3\sqrt 5 \end{array} \right.\]

Vậy phương trình tiếp tuyến \[\left( \Delta  \right)\] là \[y - 2x + 2 - 3\sqrt 5  = 0\] hoặc \[y - 2x + 2 + 3\sqrt 5  = 0\].

b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên \(M \in \Delta '\).

Đặt: \(M\left( {3t; - 2t} \right)\).

\( \Rightarrow B\left( {6t - 4; - 4t + 1} \right)\)

Mặt khác \(B \in \Delta \) nên ta có: \(2\left( {6t - 1} \right) - 3\left( { - 4t + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 24t - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{24}}\)

\( \Rightarrow B\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{5}{6}} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta :2x - 3y = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 3} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {3;2} \right)\).

Vì \(\Delta  \bot AC\) nên đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow u \left( {3;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và có phương trình là: \(3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0\).

Tọa độ điểm \(C\) là giao điểm của \(AC\) và \(\Delta '\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 0\\3x + 2y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6; - 4} \right)\).