Số hạng chứa \[{x^2}\] trong khai triển \[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}}\] với \[x \ne 0\], biết \[n\] là số nguyên dương thỏa mãn \[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\].
A. \[4{x^2}\];
B. \[4\];
C. \[6{x^2}\];
D. \[4.\frac{1}{{{x^2}}}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Từ phương trình:
\[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\]
\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2\left( {n - 1} \right)!}} + 2n = 4.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]
\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + 4n = 8.\frac{{n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]
\[ \Leftrightarrow 3n.\left( {n + 1} \right) + 4n = 8n.\left( {n - 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 5{n^2} - 15n = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 3\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]
Với \[n = 3\], ta có:
\[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}} = {\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\]
\[ = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4} + 4x{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + 6{x^2}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4{x^3}\left( {\frac{1}{x}} \right) + {x^4}\]
\[ = \frac{1}{{{x^4}}} + 4.\frac{1}{{{x^2}}} + 6 + 4{x^2} + {x^4}\].
Vậy số hạng chứa \[{x^2}\] là: \[4{x^2}\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[0 < m < \frac{1}{4}\];
B. \[\frac{{ - 1}}{4} < m < 0\];
C. \[\frac{{ - 1}}{4} < m \le 0\];
D. \[m < - \frac{1}{4}\].
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Với \[m = 0\;\] thì \[f\left( x \right) = - x - 1\] lấy cả giá trị âm và dương (ví dụ \[f\left( { - 2} \right) = 1\]) nên \[m = 0\;\] không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+) Với \[m \ne 0\] thì \[f\left( x \right) = m{x^2} - x - 1\] là tam thức bậc hai, do đó:
\[f\left( x \right) < 0,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta = 1 + 4m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m < \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - \frac{1}{4}\].
Vậy với \[m < - \frac{1}{4}\] thì biểu thức \[f\left( x \right)\] luôn nhận giá trị âm.
Câu 2
A. \[D = \left( {1;\, + \infty } \right)\];
B. \[D = \left( {1;\,6} \right)\];
C. \[D = \left[ {1;\,6} \right]\];
D. \[D = \mathbb{R}\].
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi \[\left\{ \begin{array}{l}6 - x \ge 0\\x - 1 \ge 0\\1 + \sqrt {x - 1} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 6\]
Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left[ {1;\,6} \right]\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(y = x\);
B. \(y = \frac{1}{{{x^2}}} - x\);
C. \(y = 2{x^2} - 9\);
D. \(y = {x^2}.y\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \[{y_{\min }} = 0\];
B. \[{y_{\min }} = 1\];
C. \[{y_{\min }} = 2\];
D. \[{y_{\min }} = 3\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập