Một tổ trong lớp 10T có \(4\) bạn nữ và \(3\) bạn nam. Giáo viên chọn ngẫu nhiên hai bạn trong tổ đó tham gia đội làm báo của lớp. Xác suất để hai bạn được chọn có một bạn là nam và một bạn là nữ là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số các hoán vị về màu bi khi xếp thành dãy là: \[3!\];

Số cách xếp \[3\] viên bi đen khác nhau thành dãy là: \[3!\];

Số cách xếp \[4\] viên bi đỏ khác nhau thành dãy là \[4!\];

Số cách xếp \[5\] viên bi xanh khác nhau thành dãy là \[5!\];

Vậy nên số cách xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là \[3!.3!.4!.5! = 103\,\,680\] cách.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến \[\left( \Delta  \right)\] song song với đường thẳng \[y = 2x - 1\] là \[y - 2x + c = 0\].

Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {1;\,0} \right)\] và bán kính \[R = 3\].

Theo giả thiết, ta có: \[d\left( {I;\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {n - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2 - 3\sqrt 5 \\c = 2 + 3\sqrt 5 \end{array} \right.\]

Vậy phương trình tiếp tuyến \[\left( \Delta  \right)\] là \[y - 2x + 2 - 3\sqrt 5  = 0\] hoặc \[y - 2x + 2 + 3\sqrt 5  = 0\].

b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên \(M \in \Delta '\).

Đặt: \(M\left( {3t; - 2t} \right)\).

\( \Rightarrow B\left( {6t - 4; - 4t + 1} \right)\)

Mặt khác \(B \in \Delta \) nên ta có: \(2\left( {6t - 1} \right) - 3\left( { - 4t + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 24t - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{24}}\)

\( \Rightarrow B\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{5}{6}} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta :2x - 3y = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 3} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {3;2} \right)\).

Vì \(\Delta  \bot AC\) nên đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow u \left( {3;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và có phương trình là: \(3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0\).

Tọa độ điểm \(C\) là giao điểm của \(AC\) và \(\Delta '\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 0\\3x + 2y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6; - 4} \right)\).