Cho các số \(2;\,\,3;\,\,5;\,\,7;\,\,8;\,\,9\). Tập \(M\) là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lấy từ các số đã cho. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập \(M\). Gọi \(A\) là biến cố: “Số được chọn nhỏ hơn \(432\)”. Biến cố đối của biến cố \[A\] là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Với \[m = 0\;\] thì \[f\left( x \right) =  - x - 1\] lấy cả giá trị âm và dương (ví dụ \[f\left( { - 2} \right) = 1\]) nên \[m = 0\;\] không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) Với \[m \ne 0\] thì \[f\left( x \right) = m{x^2} - x - 1\] là tam thức bậc hai, do đó:

\[f\left( x \right) < 0,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta  = 1 + 4m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m < \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - \frac{1}{4}\].

Vậy với \[m <  - \frac{1}{4}\] thì biểu thức \[f\left( x \right)\] luôn nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến \[\left( \Delta  \right)\] song song với đường thẳng \[y = 2x - 1\] là \[y - 2x + c = 0\].

Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {1;\,0} \right)\] và bán kính \[R = 3\].

Theo giả thiết, ta có: \[d\left( {I;\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {n - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2 - 3\sqrt 5 \\c = 2 + 3\sqrt 5 \end{array} \right.\]

Vậy phương trình tiếp tuyến \[\left( \Delta  \right)\] là \[y - 2x + 2 - 3\sqrt 5  = 0\] hoặc \[y - 2x + 2 + 3\sqrt 5  = 0\].

b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên \(M \in \Delta '\).

Đặt: \(M\left( {3t; - 2t} \right)\).

\( \Rightarrow B\left( {6t - 4; - 4t + 1} \right)\)

Mặt khác \(B \in \Delta \) nên ta có: \(2\left( {6t - 1} \right) - 3\left( { - 4t + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 24t - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{24}}\)

\( \Rightarrow B\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{5}{6}} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta :2x - 3y = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 3} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {3;2} \right)\).

Vì \(\Delta  \bot AC\) nên đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow u \left( {3;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và có phương trình là: \(3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0\).

Tọa độ điểm \(C\) là giao điểm của \(AC\) và \(\Delta '\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 0\\3x + 2y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6; - 4} \right)\).