Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) của đường tròn \(\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 3x + 7y + 1 = 0\) là

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 7y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\).

Do đó, \({\Delta _1} \cap {\Delta _2} = O\left( {0;0} \right)\). Gọi \(A,\,\,B\) lần lượt là hai tiếp điểm của \(\left( {C'} \right)\) với \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)

Ta có tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và \(K\) thuộc đường phân giác của \(\widehat {AOB}\).

Mặt khác, ta chứng minh được phương trình đường phân giác của \(\widehat {AOB}\) là:

\(\frac{{x - y}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} =  \pm \frac{{x - 7y}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + y = 0\\x - 2y = 0\end{array} \right.\) .

Vì \(K \in \left( C \right)\) nên tọa độ điểm \(K\) là nghiệm của các hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\end{array} \right.\,\,\)  (Vô nghiệm)  và  \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).  

Vậy \(K\left( {\frac{8}{5};\,\frac{4}{5}} \right).\)