Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\left( {2;\,\,2} \right)\), điểm \(D\) là chân đường phân giác ngoài của góc \[\widehat {BAC}\]. Đường thẳng \(AD\) cắt đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC\) tại điểm thứ hai là \(M\) . Biết điểm \(J\left( { - 2;\,\,2} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ACD\) và phương trình đường thẳng \(CM\)  là: \(x + y - 2 = 0.\) Tìm tổng hoành độ của các đỉnh \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] của tam giác \(ABC\).

Ta có:

 \(\left( 1 \right)\)\(\widehat {BCM} = \widehat {BAM}\)

\(\widehat {BAM} = \widehat {MAT} = \widehat {DAC}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {BCM}\), mà \(\widehat {BCM} = \widehat {CDA} + \widehat {AMC},\,\,\widehat {DAC} = \widehat {ACM} + \widehat {AMC}\) từ đó suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {ACM}\), do đó\(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) có tâm \(J\) nên \(JC \bot MC\). Hay \(C\) là hình chiếu của \(J\) lên đường thẳng \(CM\).

Đường thẳng qua \(J\) và vuông góc với \(CM\) có phương trình:

\(\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\)

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x - y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 1;\,\,3} \right)\).

\(AC\) là đường thẳng qua \(C\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {IJ} \left( { - 4;\,\,0} \right)\) nên có phương trình: \( - 4\left( {x + 1} \right) + 0\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0\).

Do đó tọa độ điểm \(A\) có dạng \(A\left( { - 1;\,\,a} \right)\). Ta có

 \(I{A^2} = I{C^2} \Leftrightarrow 9 + {\left( {a - 2} \right)^2} = 9 + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right.\).

Vì \(A \ne C\) nên \(A\left( { - 1;\,\,1} \right)\).

Tọa độ điểm \(M\) có dạng \(M\left( {m;\,\,2 - m} \right)\). Ta có

\(I{M^2} = I{C^2} \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + {m^2} = 10 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 3\end{array} \right.\).

Vì \(M \ne C\) nên \(M\left( {3;\,\, - 1} \right)\).

\(BC\) là đường thẳng qua \(C\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {MI} \left( { - 1;\,\,3} \right)\) nên có phương trình:

\( - \left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 10 = 0\).

Tọa độ điểm \(B\) có dạng \(B\left( {3b - 10;\,\,b} \right)\). Ta có

\(I{B^2} = I{C^2} \Leftrightarrow {\left( {3b - 12} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 3\\b = \frac{{23}}{5}\end{array} \right.\).

Vì \(B \ne C\) nên \(B\left( {\frac{{19}}{5};\,\,\frac{{23}}{5}} \right)\).

Vậy tổng hoành độ của các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\) là \( - 1 - 1 + \frac{{19}}{5} = \frac{9}{5}\).