Một tổ có \(6\) học sinh nam và \(9\) học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn \(6\) học sinh đi lao động, trong đó có đúng \(2\) học sinh nam?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y - 2 = 0}\\{x + 2y - 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) suy ra \(A\left( {3;1} \right)\)

Gọi \(B\left( {b;\,b - 2} \right)\) và \(C\left( {5 - 2c;\;c} \right)\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(b,\;c\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - 2c + b + 3 = 9}\\{c + b - 2 + 1 = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 5}\\{c = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy \[B(5;3);\,C(1;2)\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( { - 4; - 1} \right)\]

Phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {1;2} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - 4} \right)\)  có dạng \(BC:1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow BC:x - 4y + 7 = 0\).

Vậy ta có \(m =  - 4;n = 7 \Rightarrow m + n = 3\).

Đáp án đúng là: C

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {ab} \]

Vì \(a,b\) đều là số chẵn nên

\[a\] có \(4\) cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong bốn số \(2;4;6;8\))

\[b\] có \(5\) cách chọn (vì \(b\) được chọn từ một trong năm số \(0;2;4;6;8\))

Như vậy, ta có \[4.5 = 20\] số cần tìm.