Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {a;b} \right)\) di động trên đường thẳng \(d:2x + 5y - 10 = 0\). Tìm \(a,b\) để khoảng cách ngắn nhất từ điểm \(A\) đến điểm \(M\), biết điểm \(A\left( {3; - 1} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Kẻ \(AH \bot d\) (tại \(H\))

Ta có: \(AM \ge AH\) (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Do đỏ để \(AM\) ngắn nhất thì \(M\) trùng \(H\).

Đường thẳng \(d:2x + 5y - 10 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\left( {2;5} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left( {5; - 2} \right)\).

Khi đó phương trình đường thẳng \(AH\) nhận \(\left( {5; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đi qua  \(A\left( {3; - 1} \right)\) có phương trình là:

\(5\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y - 17 = 0\).

Tọa độ của điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 10 = 0\\5x - 2y - 17 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{105}}{{29}}\\y = \frac{{16}}{{29}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{105}}{{29}};\frac{{16}}{{29}}} \right)\).