Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 2 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) song song với \(\left( d \right):4x - 3y + 3 = 0\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\) là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\)

Khi đó tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) là  \(I\left( {1; - 1} \right)\) và \(R = 2\).

Vì đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) song song với \(\left( d \right):4x - 3y + 3 = 0\) nên \(\left( \Delta  \right)\) có dạng \(4x - 3y + c = 0\left( {c \ne 3} \right)\).

Ta có đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) nên:

 \(d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.1 - 3.\left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {c + 7} \right|}}{5} = 2\)

\( \Leftrightarrow \left| {c + 7} \right| = 10\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c + 7 = 10\\c + 7 =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 3\\c =  - 17\end{array} \right.\)

Vậy tiếp tuyến là \(4x - 3y - 17 = 0.\)