Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \).

a) \(\overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {IC} \) ngược hướng.

b) \(2AK = 3KB\) và \(K\) là điểm nằm trên cạnh \(AB\) nên \(\overrightarrow {BK} = \frac{2}{5}\overrightarrow {BA} = - \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} \);

\(I\) là điểm nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BI = 3IC\) nên \(\overrightarrow {BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \).

\[\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {BI} = \left| {\overrightarrow {BK} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BI} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BK} ,\overrightarrow {BI} } \right)\]\[ = \frac{2}{5}AB \cdot \frac{3}{4}BC \cdot \cos \widehat {ABC}\]\[ = \frac{3}{{10}}AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\].

c) \(\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AC} \).

d) \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).

Đáp án: a) Sai;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên ta có \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \).

b) Ta có \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {DE} \) \( = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \left( {\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {BD} } \right) = 2\overrightarrow {BD} - 2\overrightarrow {BE} \).

c) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(E\) là trung điểm cạnh \(AD\) nên ta có:

\(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).

d) Có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).

Theo giả thiết, hai đường thẳng \(BE,AC\) vuông góc nhau nên ta có:

\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)\( \Leftrightarrow B{C^2} = 2A{B^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 8\)\( \Rightarrow BC = 2\sqrt 2 \).

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AD = BC = 2\sqrt 2 \).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.