Cho ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng như hình vẽ sau. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

 

a)\(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB\) nên \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

Suy ra \(BC = 2EF\) và \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {EF} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {EF} \).

b) \({S_{\Delta BEF}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot {a^2} = \frac{1}{8}{a^2}\).

c) \({\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}{\overrightarrow {AB} ^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + 4{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{4}{a^2} + 4{a^2} = \frac{{17{a^2}}}{4}\).

Suy ra \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\).

d) Ta có \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \).

Khi đó \[\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\]\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \)

\( = - \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} = - {a^2}\).

Có \(\left| {\overrightarrow {BE} } \right| = \left| {\overrightarrow {CF} } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF} }}{{\left| {\overrightarrow {BE} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CF} } \right|}} = \frac{{ - {a^2}}}{{\frac{{5{a^2}}}{4}}} = - \frac{4}{5}\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.