Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ ,AC = 2,5\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

a)\(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB\) nên \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

Suy ra \(BC = 2EF\) và \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {EF} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {EF} \).

b) \({S_{\Delta BEF}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot {a^2} = \frac{1}{8}{a^2}\).

c) \({\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}{\overrightarrow {AB} ^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + 4{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{4}{a^2} + 4{a^2} = \frac{{17{a^2}}}{4}\).

Suy ra \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\).

d) Ta có \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \).

Khi đó \[\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\]\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \)

\( = - \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} = - {a^2}\).

Có \(\left| {\overrightarrow {BE} } \right| = \left| {\overrightarrow {CF} } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF} }}{{\left| {\overrightarrow {BE} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CF} } \right|}} = \frac{{ - {a^2}}}{{\frac{{5{a^2}}}{4}}} = - \frac{4}{5}\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.