Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} \) cùng tác động vào một vật tại điểm \(O\). Cường độ hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) lần lượt là \(34\;{\rm{N}}\) và \(134\;{\rm{N}}\), góc \(\widehat {AOB} = 120^\circ \). Tính cường độ của lực tổng hợp tác động vào vật (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

a)\(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB\) nên \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

Suy ra \(BC = 2EF\) và \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {EF} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {EF} \).

b) \({S_{\Delta BEF}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot {a^2} = \frac{1}{8}{a^2}\).

c) \({\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}{\overrightarrow {AB} ^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + 4{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{4}{a^2} + 4{a^2} = \frac{{17{a^2}}}{4}\).

Suy ra \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\).

d) Ta có \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \).

Khi đó \[\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\]\( = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \)

\( = - \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} = - {a^2}\).

Có \(\left| {\overrightarrow {BE} } \right| = \left| {\overrightarrow {CF} } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF} }}{{\left| {\overrightarrow {BE} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CF} } \right|}} = \frac{{ - {a^2}}}{{\frac{{5{a^2}}}{4}}} = - \frac{4}{5}\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.

a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \)\( = \left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {MC} } \right)\)\( = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD} \)\( = 2\overrightarrow {BA} \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = 4a\).

b) \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow 0 } \right| = 0\).

c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AI} \).

d) \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {BD} \).

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;    c) Đúng;    d) Sai.