Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;2} \right),B\left( {1;5} \right)\) và đỉnh \(C\) nằm trên đường thẳng \(d:2x - y - 8 = 0\). Tọa độ đỉnh \(C\left( {a;b} \right)\), biết rằng \(C\) có tung độ âm và diện tích tam giác \(ABC\) bằng 2. Tính \(a + 2b\).

Một tháp triển lãm có mặt cắt hình hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{18}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{36}^2}}} = 1\). Cho biết chiều cao của tháp là 100 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp (đơn vị m) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một chiếc Phà chở khách qua sông từ điểm \(A\left( {1;2} \right)\) đến điểm \(B\left( {1;50} \right)\) bên kia sông. Nhưng vì có gió và nước chảy mạnh nên chiếc Phà qua bên kia sông tại điểm \(C\left( {38;50} \right)\). Góc lệch của Phà với lúc dự tính ban đầu là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 3 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\). Biết rằng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại điểm \(M\left( {a;b} \right)\) duy nhất. Tính giá trị của biểu thức \(2024a - b\).

Một mái vòm nhà hát có mặt cắt là hình nửa elip. Cho biết khoảng cách giữa hai tiêu điểm là \({F_1}{F_2} = 50\;{\rm{m}}\) và chiều dài của đường đi của một tia sáng từ \({F_1}\) đến mái vòm rồi phản chiếu về \({F_2}\) là 100 m. Lập phương trình đường elip đó.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0;1} \right)\). Biết rằng tồn tại duy nhất điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) để biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 10 = 0\).