Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left( {1; - 4} \right)\), \(B\left( { - 2;2} \right)\) và \(C\left( { - 5;4} \right)\). Biết rằng tồn tại điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc trục \(Ox\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b\).

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - 4 - y} \right),\overrightarrow {IB} = \left( { - 2 - x;2 - y} \right),\overrightarrow {IC} = \left( { - 5 - x;4 - y} \right)\).

Theo bài ta có \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x + 2\left( { - 2 - x} \right) + 3\left( { - 5 - x} \right) = 0\\ - 4 - y + 2\left( {2 - y} \right) + 3\left( {4 - y} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x - 4 - 2x - 15 - 3x = 0\\ - 4 - y + 4 - 2y + 12 - 3y = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x - 18 = 0\\ - 6y + 12 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - 3;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} \)\( = 6\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = 6\overrightarrow {MI} \).

Do \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất.

Lại có \(M \in Ox\) nên \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\left( { - 3;2} \right)\) trên \(Ox\).

Suy ra tọa độ \(M\left( { - 3;0} \right)\). Vậy \(T = - 6\).