Cho tam giác\(ABC\) có \(A\left( { - 3;2} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {1; - 2} \right)\).

a) Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và độ dài đoạn thẳng \(AB\).

b) Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).

c) Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc trục hoành sao cho \(AM + MC\) ngắn nhất.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;48} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {37;48} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\) nên \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 48;37} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\).

Góc lệch của Phà với lúc dự tính ban đầu chính là góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\).

Ta có \(\cos \left( {AB,AC} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 48} \right) + 0 \cdot 37} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 48} \right)}^2} + {{37}^2}} }} = \frac{{48}}{{\sqrt {3673} }}\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 38^\circ \).

Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1} \right)\).

Vì \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc tia \(AB\) nên \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\).

Theo đề ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 80\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\5{y^2} - 30y - 35 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 5\\\left[ \begin{array}{l}y = 7\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( { - 8; - 4} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {8;4} \right)\end{array} \right.\).

\(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} ,k > 0\) nên \(M\left( { - 7; - 1} \right)\). Do đó \(x = - 7;y = - 1\). Vậy \(x + y = - 8\).