Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ ,AC = 2,5\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ ,AC = 2,5\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
1,04
Tam giác \(ABC\) vuông tại A, có \(AB = \frac{{AC}}{{\tan B}} = \frac{{2,5}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{6}\).
Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2} + 2,{5^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có \(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)\)
\[ = \frac{1}{4}\left( { - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos B + \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos C} \right)\]\[ = \frac{1}{4}\left( { - \frac{{5\sqrt 3 }}{6} \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \cdot \cos 60^\circ + 2,5 \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \cdot \cos 30^\circ } \right) = \frac{{25}}{{24}} \approx 1,04\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - 18\).
Đúng
Sai
b) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\).
Đúng
Sai
c) \(ABCD\) là hình bình hành khi \(D\left( {4; - 5} \right)\).
Đúng
Sai
d) Tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) là \(H\left( {\frac{{13}}{2};1} \right)\).
Đúng
Sai
Lời giải
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( { - 2} \right) \cdot 0 + 3 \cdot \left( { - 6} \right) = - 18\).
b) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{ - 18}}{{\sqrt {13} \cdot \sqrt {36} }} = - \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}\).
c) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {DC} = \left( {2 - x; - 2 - y} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x = - 2\\ - 2 - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 5\end{array} \right.\).
Vậy \(D\left( {4; - 5} \right)\).
d) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {x - 4;y - 1} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x - 2;y - 4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 3} \right)\).
Do \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0\left( {x - 4} \right) - 6\left( {y - 1} \right) = 0\\ - 2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 4} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{2}\\y = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{{13}}{2};1} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Câu 2
A. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1\).
B. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 12\).
C. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 7\).
D. \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 26\).
Lời giải
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 2 \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot 7 = 1\). Chọn A.
Câu 3
a) Điểm \(M\left( {\sqrt {20} ;4} \right) \in \left( H \right)\).
Đúng
Sai
b) Tiêu cự của hypebol bằng 6.
Đúng
Sai
c) Các tiêu điểm của hypebol là \({F_1}\left( { - 6;0} \right);{F_2}\left( {6;0} \right)\).
Đúng
Sai
d) Cho điểm \(A\left( {8;b} \right) \in \left( H \right),b < 0\). Khi đó \(A{F_1} = 5\).
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(I\left( {4;4} \right)\).
B. \(I\left( {2;2} \right)\).
C. \(I\left( {0; - 10} \right)\).
D. \(I\left( {0;10} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\).
C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập