Sau khi đạt được danh hiệu học sinh xuất sắc năm học 2024 – 2025, bạn An đã được bố khen thưởng bằng cách cho đi siêu thị để mua sắm. Nếu An mua \(3\) chiếc áo và \(5\) chiếc quần thì hết số tiền \(3\) triệu đồng. Nếu An mua \(5\)chiếc áo và \(3\) chiếc quần thì hết \(3\) triệu \(400\) nghìn đồng.Gọi \(x,y\) (nghìn đồng) lần lượt là giá tiền một chiếc áo và một chiếc quần. Biết các loại áo đồng giá với nhau và các loại quần đồng giá với nhau.

a) Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(AD \bot \;BD\;\left( 1 \right)\)

Xét đường tròn \(\left( K \right)\) có: \(\widehat {ADC} = 90^\circ \;\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(AD \bot \;CD\;\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(B,\;C,D\) thẳng hàng nên \(D\) là điểm thuộc cạnh huyền \(BC\).

b) Ta có \({\rm{\Delta }}\;IAK\) vuông tại \(A\)  (\({\rm{\Delta }}\;ABC\) vuông tại \(A\))

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(IK.\)

Suy ra ba điểm \(I,A,K\) thuộc đường tròn đường kính \(IK\)   (3)

Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có: \(IA = ID\) (cùng bán kính)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAD\) cân tại I nên \(\widehat {IAD} = \widehat {IDA}\;\;\left( * \right)\)

Xét đường tròn \(\left( K \right)\) có: \(KA = KD\) (cùng bán kính)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAD\) cân tại I nên \(\widehat {KAD} = \widehat {KDA}\;\;\left( {**} \right)\)

Ta có \(\widehat {IAD} + \widehat {KAD} = \widehat {IAK\;} = 90^\circ \,\,\left( {***} \right)\)

Từ (*), (**), (***) suy ra \(\widehat {IDK\;} = \widehat {IDA\;} + \widehat {KDA} = 90^\circ \)

Nên \({\rm{\Delta }}\;IDK\) vuông tại \(D\)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IDK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(IK.\)

Suy ra ba điểm \(I,D,K\) thuộc đường tròn đường kính \(IK\)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(A,I,D,K\) cùng thuộc một đường tròn.

Vậy tứ giác \(AIDK\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(P = \frac{{\sqrt {x + 2\sqrt x  + 1} }}{{x - 1}}.\sqrt {x - 2\sqrt x  + 1} \)

\( = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}} }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left| {\sqrt x  + 1} \right|.\left| {\sqrt x  - 1} \right|}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = 1\) (với \(x > 1\))