Tại vùng biển \(X\), có hai cảng biển ở vị trí các điểm \(A\) và \(B\), hai hòn đảo ở vị trí các điểm \(C\) và \(D\). Bốn điểm \(A,B,C,D\) cùng thuộc một đường tròn (được mô tả như hình vẽ). Biết rằng khoảng cách giữa các điểm như sau: \(AB = 56\) km, \(BC = 61,6\) km, \(AC = 33,6\) km và \(BD = CD\). Theo lịch trình vận chuyển, tàu từ cảng \(A\) cung cấp hàng cho đảo \(D\) ; tàu từ cảng \(B\) cung cấp hàng cho đảo \(C\). Nhưng trên thực tế, lượng hàng từ cảng \(A\) không đủ cung cấp cho đảo \(D\) nên phải lấy hàng bổ sung. Vì vậy hai chủ tàu thống nhất thực hiện đúng lịch trình như kế hoạch ban đầu \(\left( {A \to D\,;\,\,B \to C} \right)\) và sẽ gặp nhau ở vị trí điểm \(E\) (\(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\)) để bổ sung hàng hóa và tiết kiệm chi phí vận chuyển. Khoảng cách từ vị trí điểm \(A\) đến vị trí điểm \(E\) bằng bao nhiêu kilômét?

Gọi \[N({x_0},{y_0}),\]

Vì \[MN{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} = > {x_0} = 2\]
Vì khoảng cách từ O đến MN là \[3,2 \Rightarrow {y_0} = - 3,2\]

Suy ra \[N\left( {2\,;\,\, - 3,2} \right)\]
 Thay \[N\left( {2\,;\,\, - 3,2} \right)\] vào \[y = a{x^2}\] ta được

 \[ - 3,2 = a \cdot {2^2}\]

\[a = - 3,2:4 = - 0,8\]

\[\;y = - 0,8{x^2}\]

Gọi \[AB = CD = 2u\] và \[D\left( {{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right)\] thuộc đường cong, suy ra \[{x_1} = {\rm{ }}u\]
 mà \[{y_1} = - {\rm{ }}0.8{u^2}\]
\[ \Rightarrow {\rm{ }}D\left( {u; - 0,8{u^2}} \right)\]

\[ \Rightarrow {\rm{ }}AD{\rm{ }} = 3,2 - 0.8{u^2}\]

Chu vi hình ABCD là:
\[\begin{array}{l}P = (AB + AD) \cdot 2 = (2u + 3,2 - 0,8{u^2}) \cdot 2\\ = - 1,6{u^2} + 4u + 6,4\\ = - 1,6\left( {{u^2} - 2.5u + \frac{{25}}{{16}}} \right) + 8,9\\ = - 1,6{\left( {u - \frac{5}{4}} \right)^2} + 8,9 \le 8,9\end{array}\]

a) Sai vì \(\Delta ' = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 1 = - 2m + 2\).

Phương trình có 2 nghiệm khi \( - 2m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 2m \le 2 \Leftrightarrow m \le 1\).

b) Đ vì phương trình có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\) với \(a = 1 \ne 0\).

c) Đ vì thay \(m = - 1\) vào pt ta có:

\({x^2} - 2\left( { - 1 - 1} \right)x + {\left( { - 1} \right)^2} - 1 = 0\)

\({x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 0}\\{{x_2} = - 4}\end{array}} \right.\)

d) S. Khi \(m < 1\) thì pt có 2 nghiệm phân biệt nên theo hệ thức Viét ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 1}\end{array}} \right.\)

Xét điều kiện \({x_1}\left( {2 + {x_2}} \right) = - 2{x_2}\)

\(2{x_1} + {x_1}{x_2} + 2{x_2} = 0\)

\({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\)

\({m^2} - 1 + 2 \cdot 2\left( {m - 1} \right) = 0\)

\({m^2} + 4m - 5 = 0\)

\[m = 1\] (loại) hoặc \[m = - 5\] (thỏa mãn).

Vậy có 1 gía trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện.