Tại vùng biển \(X\), có hai cảng biển ở vị trí các điểm \(A\) và \(B\), hai hòn đảo ở vị trí các điểm \(C\) và \(D\). Bốn điểm \(A,B,C,D\) cùng thuộc một đường tròn (được mô tả như hình vẽ). Biết rằng khoảng cách giữa các điểm như sau: \(AB = 56\) km, \(BC = 61,6\) km, \(AC = 33,6\) km và \(BD = CD\). Theo lịch trình vận chuyển, tàu từ cảng \(A\) cung cấp hàng cho đảo \(D\) ; tàu từ cảng \(B\) cung cấp hàng cho đảo \(C\). Nhưng trên thực tế, lượng hàng từ cảng \(A\) không đủ cung cấp cho đảo \(D\) nên phải lấy hàng bổ sung. Vì vậy hai chủ tàu thống nhất thực hiện đúng lịch trình như kế hoạch ban đầu \(\left( {A \to D\,;\,\,B \to C} \right)\) và sẽ gặp nhau ở vị trí điểm \(E\) (\(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\)) để bổ sung hàng hóa và tiết kiệm chi phí vận chuyển. Khoảng cách từ vị trí điểm \(A\) đến vị trí điểm \(E\) bằng bao nhiêu kilômét?

Gọi \[N({x_0},{y_0}),\]

Vì \[MN{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} = > {x_0} = 2\]
Vì khoảng cách từ O đến MN là \[3,2 \Rightarrow {y_0} = - 3,2\]

Suy ra \[N\left( {2\,;\,\, - 3,2} \right)\]
 Thay \[N\left( {2\,;\,\, - 3,2} \right)\] vào \[y = a{x^2}\] ta được

 \[ - 3,2 = a \cdot {2^2}\]

\[a = - 3,2:4 = - 0,8\]

\[\;y = - 0,8{x^2}\]

Gọi \[AB = CD = 2u\] và \[D\left( {{x_1};{\rm{ }}{y_1}} \right)\] thuộc đường cong, suy ra \[{x_1} = {\rm{ }}u\]
 mà \[{y_1} = - {\rm{ }}0.8{u^2}\]
\[ \Rightarrow {\rm{ }}D\left( {u; - 0,8{u^2}} \right)\]

\[ \Rightarrow {\rm{ }}AD{\rm{ }} = 3,2 - 0.8{u^2}\]

Chu vi hình ABCD là:
\[\begin{array}{l}P = (AB + AD) \cdot 2 = (2u + 3,2 - 0,8{u^2}) \cdot 2\\ = - 1,6{u^2} + 4u + 6,4\\ = - 1,6\left( {{u^2} - 2.5u + \frac{{25}}{{16}}} \right) + 8,9\\ = - 1,6{\left( {u - \frac{5}{4}} \right)^2} + 8,9 \le 8,9\end{array}\]

a) Sai. \(\widehat {ACB} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {AOB} = 120^\circ \Rightarrow \) sđ

b) Đúng. Vì xét \(\Delta OAM\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {AMO} = 30^\circ \)

\( \Rightarrow AM = OA \cdot \cot 30^\circ = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

c) Đúng. Vì \(\Delta AMO\) và \(\Delta BMO\) là các tam giác vuông

Chung cạnh huyền OM

d) Đúng

Vì \({S_{g/h}} = {S_{AMBO}} - {S_{qAOB}}\)

\( = 2.{S_{\Delta AMO}} - \frac{{\pi \cdot {4^2} \cdot 120}}{{360}} = 16\sqrt 3 - \frac{{16\pi }}{3} = 16\left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right)\left( {c{m^2}} \right)\)

\( \Rightarrow S = {S_{AOBM}} - {S_q} = 16\sqrt 3 - \frac{{16\pi }}{3} = 16\left( {\frac{{3\sqrt 3 - \pi }}{3}} \right)\)