Trong không gian \(Oxyz\), cho biểu diễn của \(\overrightarrow a \) qua các vecto đơn vị là \(\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow k  - 3\overrightarrow j \). Tọa độ của \(\overrightarrow a \) là:

+) Khối lượng tôm giống vụ tôm vừa qua là 100kg

+) Gọi \[x\] là khối lượng tôm giống giảm đi.

+) Khối lượng tôm thu hoạch trong 1 kg/m2 tôm gống là \[2000:100 = 20{\rm{(kg)}}\].

+) Khi giảm đi 0,2kg/m2 tôm giống thì sản lượng thu hoạch tăng thêm trên \[1\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] là \[(2400 - 2000):100 = 4\,{\rm{kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]

+) \[x\] là khối lượng tôm giống giảm đi suy ra số tôm giống cần thả là \[(100 - x)\,{\rm{kg}}\].

+) Sản lượng thu hoạch được trong 1kg tôm giống là \[(20 + ax){\rm{kg}}\]

Sản lượng thu hoạch được là \[f(x) = \left( {100 - x} \right)\left( {20 + ax} \right)\]

Ta biết cứ giảm đi 20 kg tôm giống thì thu hoạch được 2400 kg tôm suy ra \[f(20) = 2400\]

\[\left( {100 - 20} \right)(20 + a.20) = 2400 \Rightarrow a = 0,5 \Rightarrow f(x) = \left( {100 - x} \right)\left( {20 + 0,5{\rm{x}}} \right) =  - 0,5{{\rm{x}}^2} + 30{\rm{x}} + 2000\]

Vậy \[f(x)\] đạt giá trị lớn nhất khi \[x = 30\].

Vậy cần phải thả là \[70\,{\rm{kg}}\] tôm giống.

Đáp án: 2,18.

Vì lúc 0 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con nên ta có: \[S\left( 0 \right) = 150 \Leftrightarrow A{e^{r.0}} = 150 \Leftrightarrow A = 150\] (con)

\[ \Rightarrow S\left( t \right) = 150{e^{rt}}\].

Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con nên \[S\left( 3 \right) = 450 \Leftrightarrow 150{e^{r.3}} = 450 \Leftrightarrow {e^{r.3}} = 3 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{3}\].

\[ \Rightarrow S\left( t \right) = 150{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}}\].

Vì số lượng vi khuẩn Y tăng 5% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn Y ở mỗi giờ theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có số hạng tổng quát là \[R\left( t \right) = 300{\left( {1 + 5\% } \right)^t}\].

Để số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y thì \[S\left( t \right) = R\left( t \right)\].

\[ \Leftrightarrow 150{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}} = 300{\left( {1 + 5\% } \right)^t}\]

\[ \Leftrightarrow 150{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}} = 300{\left( {1,05} \right)^t}\].

\[ \Leftrightarrow \frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}}}}{{{{\left( {1,05} \right)}^t}}} = \frac{{300}}{{150}}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}}}}{{{{\left( {1,05} \right)}^t}}} = 2\].

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}}}}}{{1,05}}} \right)^t} = 2\].

\[ \Leftrightarrow t = {\log _{\frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}}}}}{{1,05}}}}2 \approx 2,18\].

Vậy vào lúc 2,18 giờ thì số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y.