Gia đình ông Thanh nuôi tôm với diện tích ao nuôi là \[100\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]. Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ là \[1{\rm{(kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\] tôm giống và sản lượng tôm khi thu hoạch được 2 tấn tôm. Với kinh nghiệm nuôi tôm nhiều năm, ông cho biết cứ thả giảm đi \[200\,{\rm{g/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] tôm giống thì sản lượng tôm thu hoạch được 2,4 tấn tôm. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu kg tôm giống để sản lượng tôm cho thu hoach là lớn nhất? (Giả sử không có dịch bệnh, hao hụt khi nuôi tôm giống).

Đáp án: 2,18.

Vì lúc 0 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con nên ta có: \[S\left( 0 \right) = 150 \Leftrightarrow A{e^{r.0}} = 150 \Leftrightarrow A = 150\] (con)

\[ \Rightarrow S\left( t \right) = 150{e^{rt}}\].

Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con nên \[S\left( 3 \right) = 450 \Leftrightarrow 150{e^{r.3}} = 450 \Leftrightarrow {e^{r.3}} = 3 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{3}\].

\[ \Rightarrow S\left( t \right) = 150{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}}\].

Vì số lượng vi khuẩn Y tăng 5% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn Y ở mỗi giờ theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có số hạng tổng quát là \[R\left( t \right) = 300{\left( {1 + 5\% } \right)^t}\].

Để số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y thì \[S\left( t \right) = R\left( t \right)\].

\[ \Leftrightarrow 150{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}} = 300{\left( {1 + 5\% } \right)^t}\]

\[ \Leftrightarrow 150{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}} = 300{\left( {1,05} \right)^t}\].

\[ \Leftrightarrow \frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}}}}{{{{\left( {1,05} \right)}^t}}} = \frac{{300}}{{150}}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}t}}}}{{{{\left( {1,05} \right)}^t}}} = 2\].

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}}}}}{{1,05}}} \right)^t} = 2\].

\[ \Leftrightarrow t = {\log _{\frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}}}}}{{1,05}}}}2 \approx 2,18\].

Vậy vào lúc 2,18 giờ thì số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(OH = \frac{{\left( {4\sqrt 3 } \right)\sqrt 3 }}{2} = 6\).

Đặt \(R' = x\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp lục giác nhỏ  \(A'B'C'D'E'F'\), suy ra 

\(A'H = OH - OA' = 6 - x\) và cạnh bên của chóp là \(A'A = \sqrt {A'{H^2} + H{A^2}}  = \sqrt {{x^2} - 12x + 48} \)

Diện tích đáy của khối chóp là \(S = 6.{S_{\Delta OA'B'}} = 6.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = 3.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Và chiều cao \(h = \sqrt {A'{A^2} - O{{A'}^2}}  = \sqrt { - 12x + 48} \), \(\left( {0 < x < 4} \right)\)

Suy ra  \(V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.\frac{{3\sqrt 3 {x^2}}}{2}.\sqrt { - 12x + 48}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt { - 12{x^5} + 48{x^4}} \)

                 Dễ thấy hàm số \(f\left( x \right) =  - 12{x^5} + 48{x^4}\;\left( {0 < x < 4} \right)\) đạt cực đại \(x = \frac{{16}}{5}\).

                 Suy ra thể tích lớn nhất là \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.{\left( {\frac{{16}}{5}} \right)^2}.\sqrt { - 12\left( {\frac{{16}}{5}} \right) + 48}  = \frac{{1536\sqrt 5 }}{{125}}\;d{m^3}\)

Do đó \[a + 2b + 3c = 1536 + 2.5 + 3.125 = 1921\].