(1,5 điểm)

Cho tam giác nhọn \(ABC\)\(\left( {AB > AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\) \(\left( {H \in BC} \right)\). Từ \(H\) kẻ \(HK,\,\,HI\) lần lượt vuông góc với \(AB,\,\,AC\,\,\left( {K \in AB,\,\,I \in AC} \right)\).

a) Chứng minh tứ giác \(AKHI\) nội tiếp.

b) Kẻ đường kính \(AD\) của \(\left( O \right),\) gọi \(M\) là giao điểm của \(AD\) với \(IK.\)

     Chứng minh \(\widehat {AHM} = \widehat {ADH.}\)

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2} \right)\) vào \(\left( {\rm{P}} \right)\), ta được: \[2 = a{.1^2}\]suy ra: \(a = 2\)

Vậy \(a = 2\).

b) Vì \[A\] và \[B\] thuộc \(\left( {\rm{P}} \right)\) nên \({y_1} = 2x_1^2;{y_2} = 2x_2^2\).

Mà \({y_1} + {y_2} = 10\) nên ta có: \(2x_1^2 + 2x_2^2 = 10\).

                                  \(2x_1^2 + 4{x_1}{x_2} + 2x_2^2 - 4{x_1}{x_2} = 10\)

                               \(2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 10\)

Thay \({x_1} + {x_2} = 1\) vào, ta được:

                     \({2.1^2} - 4{x_1}{x_2} = 10\)

                          \(4{x_1}{x_2} = 2 - 10\)

                            \(4{x_1}{x_2} =  - 8\)

                             \({x_1}{x_2} =  - 2\)

Vì \({x_1} + {x_2} = 1\) và \({x_1}{x_2} =  - 2\) có \({1^2} > 4\).(-2) nên \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\).

Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\) có hai nghiệm \(x =  - 1\) và \(x = 2\)

Vì \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} =  - 1;{x_2} = 2\)

Suy ra \({y_1} = 2 \cdot {( - 1)^2} = 2;{y_2} = 2 \cdot {2^2} = 8\)

Vậy \(A\left( { - 1;2} \right),B\left( {2;8} \right)\).

Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh đất đó là \(x\,\,(m,x > 0)\)

Khi đó chiều dài ban đầu của mảnh đất đó là: \(\frac{{140}}{x}\left( {{\rm{\;m}}} \right)\)

Chiều rộng khi tăng thêm 3 m là: \(x + 3\left( {{\rm{\;m}}} \right)\)

Chiều dài khi giảm đi 6 m là: \(\frac{{140}}{x} - 6\left( {{\rm{\;m}}} \right)\)

Vì nếu tăng chiều rộng thêm 3 m và giảm chiều dài đi 6 m thì diện tích mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:

                             \(\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{{140}}{x} - 6} \right) = 140\)

       \(\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{{140 - 6x}}{x}} \right) = 140\)

\(\left( {x + 3} \right)\left( {140 - 6x} \right) = 140x\)

            \(140x - 6{x^2} + 420 - 18x = 140x\)

                          \( - 6{x^2} - 18x + 420 = 0\)

Giải phương trình trên ta được \(x = 7\left( {{\rm{tm}}} \right)\) và \(x =  - 10\left( {{\rm{ktm}}} \right)\)

Vậy chiều rộng ban đầu của mảnh đất đó là 7m .