Câu 1.  ( 1,5 điểm).

a)     Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 6x + 1 = 0\). Tính giá trị của biểu thức:

\(M = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + \frac{2}{{{x_1}{x_2}}}\).

b) Chị Thơ đến một cửa hàng thời trang mua áo và quần. Hôm ấy,cửa hàng này đã tăng giá bán một cái áo lên \(10\% \) và giảm giá bán một cái quần xuống \(20\% \) so với giá niêm yết. Do đó, chị Thơ phải trả số tiền là \[1\,875\,000\] đồng khi mua \[3\] cái áo và \[2\] cái quần. Biết rằng tổng số tiền phải trả để mua \[3\] cái áo và \[2\] cái quần theo giá niêm yết là \[1\,950\,000\] đồng. Hỏi giá tiền của một cái áo và một cái quần theo giá niêm yết là bao nhiêu?

c) Cách giải:

Ta có góc AEC = góc ABC = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

nên \(AE \bot PC\) và \(AB \bot BC\)

Xét  vuông tại A có

\(\cos \widehat {AOP} = \frac{{AO}}{{PO}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\) nên góc AOP = 60 

Suy ra góc AOP = góc POB = 60 độ

Suy ra góc cob = 180 độ - 60 độ - 60 độ = 60 độ hay tam giác OBC 

Suy ra \(BC = R\)

Và \(AP = \sqrt {O{P^2} - A{O^2}}  = \sqrt {4{R^2} - {R^2}}  = R\sqrt 3 \)

Ta có  

Suy ra \[\frac{{OA}}{{OP}} = \frac{{OH}}{{OA}} \Rightarrow \]\(O{A^2} = OH.OP\)

Suy ra \(OH = \frac{{O{A^2}}}{{OP}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2}\)

và \(PH = OP - OH = R - \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R\)

Suy ra \(AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

Ta có \(AB \bot BC;OP \bot AB\) nên \(OP\parallel BC\).

Khi đó \(\frac{{BC}}{{HP}} = \frac{{BD}}{{HD}} = \frac{R}{{\frac{3}{2}R}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \(HD = 2BD\).

Mà \(HD + BD = HB = HA = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

nên \(HD = \frac{3}{5}HB = \frac{{3\sqrt 3 }}{{10}}R\)

Suy ra \(AD = AH + HD = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R + \frac{{3\sqrt 3 }}{{10}}R = \frac{{4\sqrt 3 }}{5}R\)

Suy ra

\( = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt 3  \cdot 2R - \frac{1}{2} \cdot R \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{5}R = \frac{{3\sqrt 3 }}{5}{R^2}\)

Vậy