(2,5 điểm).

Cho đường tròn tâm \(O\),bán kính \(R\).Từ điểm \(P\) nằm ngoài đường tròn \((O)\) và cách \(O\) một khoảng \(OP = 2R\),vẽ các tiếp tuyến \(PA,PB\) của \((O)\) với \(A,B\) là các tiếp điểm.

a) Chứng minh 4 điểm \(O,A,P,B\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Kẻ đường kính \(AC\) của \((O)\).Tia \(PC\) cắt \((O)\) tại điểm \(E\) và cắt đường thẳng \(AB\) tại điểm \(D\).

Gọi \(H\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AB\) và \(OP\).Chứng minh đường thẳng \(OP\) vuông góc với đường thẳng \(AB\) và \[DA.DB = DC.DE\]

c) Tính diện tích tam giác \(APD\) theo \(R\).

c) Cách giải:

Ta có góc AEC = góc ABC = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

nên \(AE \bot PC\) và \(AB \bot BC\)

Xét  vuông tại A có

\(\cos \widehat {AOP} = \frac{{AO}}{{PO}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\) nên góc AOP = 60 

Suy ra góc AOP = góc POB = 60 độ

Suy ra góc cob = 180 độ - 60 độ - 60 độ = 60 độ hay tam giác OBC 

Suy ra \(BC = R\)

Và \(AP = \sqrt {O{P^2} - A{O^2}}  = \sqrt {4{R^2} - {R^2}}  = R\sqrt 3 \)

Ta có  

Suy ra \[\frac{{OA}}{{OP}} = \frac{{OH}}{{OA}} \Rightarrow \]\(O{A^2} = OH.OP\)

Suy ra \(OH = \frac{{O{A^2}}}{{OP}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2}\)

và \(PH = OP - OH = R - \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R\)

Suy ra \(AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

Ta có \(AB \bot BC;OP \bot AB\) nên \(OP\parallel BC\).

Khi đó \(\frac{{BC}}{{HP}} = \frac{{BD}}{{HD}} = \frac{R}{{\frac{3}{2}R}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \(HD = 2BD\).

Mà \(HD + BD = HB = HA = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

nên \(HD = \frac{3}{5}HB = \frac{{3\sqrt 3 }}{{10}}R\)

Suy ra \(AD = AH + HD = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R + \frac{{3\sqrt 3 }}{{10}}R = \frac{{4\sqrt 3 }}{5}R\)

Suy ra

\( = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt 3  \cdot 2R - \frac{1}{2} \cdot R \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{5}R = \frac{{3\sqrt 3 }}{5}{R^2}\)

Vậy