Câu 1.  (1,0 điểm )

a)Một khúc sông có bề rộng \(MN = 60\;{\rm{m}}\). Một người dùng thuyền máy đi thẳng từ vị trí \(M\) bên này bờ sông đến vị trí \(P\) bên kia bờ sông với góc tạo bởi phương \(MP\)và phương \(MN\) là \(\widehat {NMP} = 30^\circ \) (như hình minh họa bên dưới). Hỏi quãng đường MP dài hơn quãng đường đi thẳng \(MN\) bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

b)Trong tủ quần áo của anh An có 3 cái quần tây và 3 cái áo sơ mi.Trong đó,quần tây có 3 màu xanh,đen,trắng và áo sơ mi cũng có 3 màu xanh,đen,trắng.Anh An chọn ngẫu nhiên một bộ quần áo từ trong tủ để mặc đi dự tiệc.Tính xác suất của biến cố "Anh An chọn được một bộ quần áo cùng màu".

c) Cách giải:

Ta có góc AEC = góc ABC = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

nên \(AE \bot PC\) và \(AB \bot BC\)

Xét  vuông tại A có

\(\cos \widehat {AOP} = \frac{{AO}}{{PO}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\) nên góc AOP = 60 

Suy ra góc AOP = góc POB = 60 độ

Suy ra góc cob = 180 độ - 60 độ - 60 độ = 60 độ hay tam giác OBC 

Suy ra \(BC = R\)

Và \(AP = \sqrt {O{P^2} - A{O^2}}  = \sqrt {4{R^2} - {R^2}}  = R\sqrt 3 \)

Ta có  

Suy ra \[\frac{{OA}}{{OP}} = \frac{{OH}}{{OA}} \Rightarrow \]\(O{A^2} = OH.OP\)

Suy ra \(OH = \frac{{O{A^2}}}{{OP}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2}\)

và \(PH = OP - OH = R - \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R\)

Suy ra \(AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

Ta có \(AB \bot BC;OP \bot AB\) nên \(OP\parallel BC\).

Khi đó \(\frac{{BC}}{{HP}} = \frac{{BD}}{{HD}} = \frac{R}{{\frac{3}{2}R}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra \(HD = 2BD\).

Mà \(HD + BD = HB = HA = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

nên \(HD = \frac{3}{5}HB = \frac{{3\sqrt 3 }}{{10}}R\)

Suy ra \(AD = AH + HD = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R + \frac{{3\sqrt 3 }}{{10}}R = \frac{{4\sqrt 3 }}{5}R\)

Suy ra

\( = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt 3  \cdot 2R - \frac{1}{2} \cdot R \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{5}R = \frac{{3\sqrt 3 }}{5}{R^2}\)

Vậy