Giả sử cặp số \(\left( {{\rm{x;y}}} \right) = \left( {1;2} \right)\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?

Cho biểu thức P = ( \(\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}):\frac{{\surd x}}{{\sqrt x  - 1}}\) ) (với điều kiện \({\rm{x}} > 0,{\rm{x}} \ne 1\))

a)   Rút gọn biểu thức P

b)  Tìm tất cả các giá trị thực của \({\rm{x}}\) để \(23{\rm{x}}.P = 2025\).

Một cái cổng được thiết kế dạng parabol có phương trình biểu diễn trong hệ trục tọa độ Oxy là \({\rm{y}} = a{{\rm{x}}^2}\) (với a là hằng số khác 0). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng \({\rm{AB}}\) là \(6\;{\rm{m}}\), chiều cao từ điểm chính giữa cổng đến mặt đất \(OI = 4,5\;{\rm{m}}\).

a) Tìm hệ số \(a\) dựa vào dữ kiện đã cho.

b) Một xe tải có chiều rộng bằng \(2\;{\rm{m}}\), chiều cao bằng \(3,2\;{\rm{m}}\) đi vào chính giữa cổng trên. Hỏi xe tải có đi qua được cổng này mà không chạm vào cổng hay không? Giải thích lý do.

Cho nửa đường tròn đường kính \({\rm{AB}}\), có tâm là điểm \({\rm{O}}\). Đường thẳng đi qua tâm \({\rm{O}}\) và vuông góc với đường kính \({\rm{AB}}\) cắt nửa đường tròn đã cho tại \({\rm{C}}\). Trên tia đối của tia \({\rm{CA}}\)lấy điểm \({\rm{D}}\) (\({\rm{D}}\) không trùng với \({\rm{C}}\)), kẻ \({\rm{CH}}\)vuông góc với đường thẳng \({\rm{BD}}\) tại điểm \({\rm{H}}\).

a)   Chứng minh tứ giác \({\rm{OBHC}}\)nội tiếp.

b)    Gọi \({\rm{E}}\) là giao điểm của hai đường thẳng \({\rm{HO}}\) và \({\rm{BC}}\). Chứng minh \({\rm{HO}}\) là tia phân giác của \(\widehat {CHB}\) và \({\rm{CE}}{\rm{.CH = BE}}{\rm{.HD}}\).

Trong một hộp kín đựng \(10\)tấm thẻ được đánh số tự nhiên từ \(1\) đến 10, không có \(2\) thẻ nào được đánh số giống nhau. Lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp đã cho. Tính xác suất của biến cố A: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”.

Cho \({\rm{a}}{\rm{,}}\;{\rm{b}}{\rm{,}}\;{\rm{c}}\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + 4bc + 4ca = 28\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: T = \(\frac{{11a + 11b + 24c}}{{\sqrt {8{a^2} + 224}  + \;\sqrt {8{b^2} + 224}  + \;\sqrt {16{c^2} + 28} }}\)