a) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 3 = 0{\rm{  }}\left( 1 \right)\)   (với \(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] thỏa mãn \[{x_1} + 2{x_2} = 5\].

b) Giải phương trình \(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x - 5}  = 4\).

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a + b - c > 0}\\{y = b + c - a > 0}\\{z = c + a - b > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{x + z}}{2}}\\{b = \frac{{x + y}}{2}}\\{c = \frac{{y + z}}{2}}\end{array}} \right.\)

Ta cần chứng minh: \(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{4z}} + \frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{4x}} + \frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{4y}} \ge x + y + z\)

Ta có: \(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{4z}} + \frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{4x}} + \frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{4y}} \ge \frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y}{\rm{  }}\left( 1 \right)\)

Mặt khác: \(\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} \ge 2y;{\rm{ }}\frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} \ge 2z;{\rm{ }}\frac{{xy}}{z} + \frac{{zx}}{y} \ge 2x\).

Khi đó \(\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} \ge x + y + z{\rm{  }}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right){\rm{, }}\left( 2 \right)\) ta có \(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{4z}} + \frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{4x}} + \frac{{{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{4y}} \ge x + y + z\)

Vậy \(\frac{{{a^2}}}{{b + c - a}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a - b}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b - c}} \ge a + b + c\)

Dấu bằng xãy ra khi \[a = b = c\]

a)Với \(0 \le x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\left( {3x + 5\sqrt x  - 11} \right) - \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) + 2\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {3x + 5\sqrt x  - 11} \right) - \left( {x - 4} \right) + 2\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {x + \sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\end{array}\)

\( = \frac{{x + 6\sqrt x  - 7}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 7} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vậy \(P = \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(0 \le x \ne 1\)

b)Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x  + 2}} \Rightarrow 1 < P \le 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}\) với \(0 \le x \ne 1\)

Biểu thức \[P\] chia hết cho 3\( \Leftrightarrow P = 3 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  + 2}} = 3\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  + 7 = 3\sqrt x  + 6 \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Vậy \(x = \frac{1}{4}\)