Cho \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^2}}}{{b + c - a}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a - b}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b - c}} \ge a + b + c\)

Với \(n \in \mathbb{N}\), ta có \({n^5} + 1 \vdots {n^3} + 1 \Leftrightarrow {n^2}\left( {{n^3} + 1} \right) - \left( {{n^2} - 1} \right) \vdots {n^3} + 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {{n^2} - 1} \right) \vdots {n^3} + 1 \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow n - 1 \vdots {n^2} - n + 1\) (vì \(n + 1 \ne 0\))

\( \Rightarrow n\left( {n - 1} \right) \vdots {n^2} - n + 1 \Leftrightarrow \left( {{n^2} - n + 1} \right) - 1 \vdots {n^2} - n + 1\)

\( \Leftrightarrow 1 \vdots {n^2} - n + 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{n^2} - n + 1 = 1\\{n^2} - n + 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1\\n = 0\end{array} \right.\)

Thử lại ta thấy \(n = 0;\,{\rm{ }}n = 1\) thỏa mãn để \({n^5} + 1\) chia hết cho \({n^3} + 1\)

Vậy \(n = 0;\,{\rm{ }}n = 1.\)

a)Với \(0 \le x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\left( {3x + 5\sqrt x  - 11} \right) - \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) + 2\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {3x + 5\sqrt x  - 11} \right) - \left( {x - 4} \right) + 2\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {x + \sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\end{array}\)

\( = \frac{{x + 6\sqrt x  - 7}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 7} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  + 2}}\)

Vậy \(P = \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(0 \le x \ne 1\)

b)Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x  + 2}} \Rightarrow 1 < P \le 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}\) với \(0 \le x \ne 1\)

Biểu thức \[P\] chia hết cho 3\( \Leftrightarrow P = 3 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 7}}{{\sqrt x  + 2}} = 3\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  + 7 = 3\sqrt x  + 6 \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\)

Vậy \(x = \frac{1}{4}\)