Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP của đường tròn (O) vuông góc với BC tại M (P nằm trên cung nhỏ BC). Tia phân giác của \[\widehat {{\rm{ABC}}}\] cắt AP tại I.

a) Chứng minh \[{\rm{PI  =  PB}}{\rm{.}}\]

b) Chứng minh \[\widehat {{\rm{IMB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{INA}}}.\]

a) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức \[{\rm{A}} = \sqrt[3]{{\sqrt {507}  + \sqrt {13 - \sqrt {48} }  - 25}}\]

\[{\rm{A}} = \sqrt[3]{{13\sqrt 3  + \sqrt {13 - 4\sqrt 3 }  - 25}}\]

\[{\rm{A}} = \sqrt[3]{{13\sqrt 3  + \sqrt {{{(1 - 2\sqrt 3 )}^2}}  - 25}}\]

\[{\rm{A}} = \sqrt[3]{{15\sqrt 3  - 26}}\]

\[{\rm{A}} = \sqrt[3]{{{{(\sqrt 3  - 2)}^3}}} = \sqrt 3  - 2\]

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên \[(x\,;y)\] thỏa mãn \[{x^3} + {x^2} = {y^3} + {y^2}\]

Ta có: \[{x^3} + {x^2} = {y^3} + {y^2} \Leftrightarrow (x - y)({x^2} + {y^2} + xy + x + y) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\{x^2} + {y^2} + xy + x + y = 0\end{array} \right.\]

- Khi \[x - y = 0 \Leftrightarrow x = y\]. Khi đó \[(x\,;y) = (m\,;\,m)\](m là số nguyên tùy ý)

- Khi  \[{x^2} + {y^2} + xy + x + y = 0 \Leftrightarrow {(x + y)^2} + {(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} = 2\].

Suy ra trong ba giá trị \[{(x + y)^2},\,{(x + 1)^2},\,{(y + 1)^2}\]có một giá trị bằng 0, hai giá trị bằng 1.

Giải tìm được: \[(x\,;y) = (0\,;\,0)\], \[(x\,;y) = (0\,;\, - 1)\], \[(x\,;y) = ( - 1\,;\,0)\].

Vậy các cặp số thỏa đề là: \[(x\,;y) = (m\,;\,m)\](m là số nguyên tùy ý), \[(x\,;y) = (0\,;\, - 1)\], \[(x\,;y) = ( - 1\,;\,0)\].

Nhận xét:

\[{x^2} + {y^2} + xy + x + y = 0 \Leftrightarrow {x^2} + (y + 1)x + {y^2} + y = 0\] (*)

+ Phương trình (*) có nghiệm theo x khi

\[\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {(y + 1)^2} - 4({y^2} + y) \ge 0 \Leftrightarrow (y + 1)( - 3y + 1) \ge 0\]\[ \Leftrightarrow  - 1 \le y \le \frac{1}{3}\,\,\left( {y \in \mathbb{Z}} \right)\]\[ \Leftrightarrow y =  - 1\] hoặc \[y = 0\].

+ Với \[y = 0\], giải tìm được \[x = 0,\,x =  - 1.\]

+ Với \[y =  - 1\], giải tìm được \[x = 0.\]