Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O. Lấy điểm D bên trong tam giác ABC sao cho \[\widehat {{\rm{BDC}}}{\rm{  =  2}}\widehat {{\rm{BAC}}}\] (AD không vuông góc với BC).

a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh OD là đường phân giác ngoài của \[\widehat {{\rm{BDC}}}\] và tổng \[{\rm{BD  +  CD}}\] bằng hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD.

a) Giải phương trình \(3\sqrt {3 - x}  - 2x\sqrt {3 + x}  - \sqrt {9 - {x^2}}  + 6x = 0\)

.Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\3 + x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 3\). 

.\(3\sqrt {3 - x}  - 2x\sqrt {3 + x}  - \sqrt {9 - {x^2}}  + 6x = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {3 - x} \left( {3 - \sqrt {3 + x} } \right) - 2x\left( {\sqrt {3 + x}  - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow (3 - \sqrt {3 + x} )(\sqrt {3 - x}  + 2x) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - \sqrt {3 + x}  = 0\\\sqrt {3 - x}  + 2x = 0\end{array} \right.\).

.+ \(3 - \sqrt {3 + x}  = 0 \Leftrightarrow x = 6\,\)(loại).

.+ \(\sqrt {3 - x}  + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x \ge 0\\3 - x = {( - 2x)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3/4\end{array} \right.\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow x =  - 1\) (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm \(x =  - 1\).

.b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4{y^2} + 4x + 2y - 4xy = 3\\4{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 4xy = 3\end{array} \right.\).

.\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4{y^2} + 4x + 2y - 4xy = 3\\4{x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 4xy = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4xy + 4{y^2} + 4x + 2y = 3\\4{x^2} + 4xy + {y^2} + 2x - 4y = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 2y)^2} + 2(2x + y) = 3\\{(2x + y)^2} + 2(x - 2y) = 3\end{array} \right.\).

.Đặt \(x - 2y = a,\,\,2x + y = b\), khi đó ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 2b = 3\\{b^2} + 2a = 3\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} - {b^2} + 2b - 2a = 0\)\( \Leftrightarrow (a - b)(a + b) - 2(a - b) = 0\)

                                                  \( \Leftrightarrow (a - b)(a + b - 2) = 0 \Leftrightarrow a = b\) hoặc \(a + b = 2\).

.- Với \(a = b\), ta có \({a^2} + 2a = 3 \Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(a =  - 3\).

+ Khi \(a = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\2x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow (x;y) = \left( {\frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)\)

+ Khi \(a =  - 3\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y =  - 3\\2x + y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow (x;y) = \left( { - \frac{9}{5};\frac{3}{5}} \right)\).

.- Với \(a + b = 2 \Leftrightarrow a = 2 - b\), khi đó \({b^2} + 2(2 - b) = 3 \Leftrightarrow {b^2} - 2b + 1 = 0 \Leftrightarrow b = 1 \Rightarrow a = 1\)

(Trường hợp này trùng trường hợp trên).

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm \((x;y) = \left( {\frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)\) và \((x;y) = \left( { - \frac{9}{5};\frac{3}{5}} \right)\).

.Nhận xét 1: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất ta được:

\(3{x^2} - 3{y^2} - 2x - 6y + 8xy = 0 \Leftrightarrow 3({x^2} + 6xy + 9{y^2}) - 30{y^2} - 10xy - 2x - 6y = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{(x + 3y)^2} - 10y(3y + x) - 2(x + 3y) = 0 \Leftrightarrow (x + 3y)(3x - y - 2) = 0\)

Nhận xét 2: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất ta được:

\(3{x^2} - 3{y^2} - 2x - 6y + 8xy = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2(1 - 4y)x - 3{y^2} - 6y = 0\) (*)

Phương trình (*) là phương trình bậc hai theo x có \(\Delta ' = {(1 + 5y)^2}\).

Suy ra được: \(x =  - 3y\), \(x = \frac{{y + 2}}{3}\).

Thế lần lượt từng giá trị x vào một trong hai phương trình giải tìm y..