Mỗi hình a) b) c) d) trên Hình 3 là hai đường tròn phân biệt \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R'} \right).\) Hình nào có đoạn nối tâm và hai bán kính thỏa mã \(OO' > R + R'\)

Xét \(\Delta FHD\) và \(\Delta FDE\) có:

\(\widehat {DFE}\) chung; \(\widehat {FHD} = \widehat {FDE} = {90^ \circ }\)

Do đó

Nên \(\frac{{FH}}{{FD}} = \frac{{FD}}{{FE}}\) hay \(F{D^2} = FE.FH\) (2)

Xét \(\Delta FAD\) và \(\Delta FDI\) có:

\(\widehat {DFI}\) chung; \(\widehat {FAD} = \widehat {FDI} = {90^ \circ }\)

Do đó

Nên \(\frac{{FD}}{{FI}} = \frac{{FA}}{{FD}}\) hay \(F{D^2} = FI.FA\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(FK.FB = FI.FA\)

c) Xét \(\Delta FHD\) và \(\Delta FAD\) là hai tam giác vuông.

Tương tự câu a.

Do đó \(A,H,D,F\) thuộc đường tròn đường kính \(FD\) hay tứ giác \(AHFD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(FD.\)

Suy ra \(\widehat {FAH} = \widehat {FDH}\)

Mà \(\widehat {FDH} = \widehat {DEH} = \widehat {DCH} = \widehat {CAB}\)

Hơn nữa \(\widehat {FAH} + \widehat {BAH} = {180^ \circ }\) nên \(\widehat {CAB} + \widehat {BAH} = {180^ \circ }\) hay \(H,A,C\). thẳng hàng (AC cố định)

Vậy khi điểm E di chuyển trên tia đối của tia BC thì điểm H luôn chạy trên một đường cố định AC.

a) \(\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\)

+) \(x - 2 = 0\) suy ra \(x = 2\)

+) \(2x + 1 = 0\) suy ra \(x = - \frac{1}{2}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 2\) và \(x = - \frac{1}{2}\)

b) \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{5}{{3x}} = 1\)

ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne - 1\)

 Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = 5\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\x + 2y = - 4\end{array} \right.\)

    \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\2x + 4y = - 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3y = - 9\\2x + y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\2x - 3 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 3} \right)\)