Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB > AD\). Trên tia đối của tia BC lấy điểm E \(\left( {E \ne B} \right)\). Đường thẳng qua D và vuông góc với DE cắt đường thẳng AB tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D trên đường thẳng EF.
a) Chứng minh bốn điểm F, D, B, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi I là giao điểm của ED và BF, K là giao điểm của HD và BF. Chứng minh \(FK.FB = FA.FI\)
c) Chứng minh rằng khi điểm E di chuyển trên tia đối của tia BC thì điểm H luôn chạy trên một đường cố định.

Xét \(\Delta FHD\) và \(\Delta FDE\) có:

\(\widehat {DFE}\) chung; \(\widehat {FHD} = \widehat {FDE} = {90^ \circ }\)

Do đó

Nên \(\frac{{FH}}{{FD}} = \frac{{FD}}{{FE}}\) hay \(F{D^2} = FE.FH\) (2)

Xét \(\Delta FAD\) và \(\Delta FDI\) có:

\(\widehat {DFI}\) chung; \(\widehat {FAD} = \widehat {FDI} = {90^ \circ }\)

Do đó

Nên \(\frac{{FD}}{{FI}} = \frac{{FA}}{{FD}}\) hay \(F{D^2} = FI.FA\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(FK.FB = FI.FA\)

c) Xét \(\Delta FHD\) và \(\Delta FAD\) là hai tam giác vuông.

Tương tự câu a.

Do đó \(A,H,D,F\) thuộc đường tròn đường kính \(FD\) hay tứ giác \(AHFD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(FD.\)

Suy ra \(\widehat {FAH} = \widehat {FDH}\)

Mà \(\widehat {FDH} = \widehat {DEH} = \widehat {DCH} = \widehat {CAB}\)

Hơn nữa \(\widehat {FAH} + \widehat {BAH} = {180^ \circ }\) nên \(\widehat {CAB} + \widehat {BAH} = {180^ \circ }\) hay \(H,A,C\). thẳng hàng (AC cố định)

Vậy khi điểm E di chuyển trên tia đối của tia BC thì điểm H luôn chạy trên một đường cố định AC.