Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB > AD\). Trên tia đối của tia BC lấy điểm E \(\left( {E \ne B} \right)\). Đường thẳng qua D và vuông góc với DE cắt đường thẳng AB tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D trên đường thẳng EF.
a) Chứng minh bốn điểm F, D, B, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi I là giao điểm của ED và BF, K là giao điểm của HD và BF. Chứng minh \(FK.FB = FA.FI\)
c) Chứng minh rằng khi điểm E di chuyển trên tia đối của tia BC thì điểm H luôn chạy trên một đường cố định.

a) \(\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\)

+) \(x - 2 = 0\) suy ra \(x = 2\)

+) \(2x + 1 = 0\) suy ra \(x = - \frac{1}{2}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 2\) và \(x = - \frac{1}{2}\)

b) \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{5}{{3x}} = 1\)

ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne - 1\)

 Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = 5\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\x + 2y = - 4\end{array} \right.\)

    \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\2x + 4y = - 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3y = - 9\\2x + y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\2x - 3 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 3} \right)\)

Gọi bề rộng của lối đi là x (m). \(0 < x < \frac{{20}}{2} = 10\)

Diện tích của một phần đất trồng hoa là: \(504:4 = 126\left( {{m^2}} \right)\)

Chiều dài của một phần đất trồng hoa là: \(\frac{{30}}{2} - \frac{x}{2} = \frac{{30 - x}}{2}\left( m \right)\)

Chiều rộng của một phần đất sau khi làm lối đi là: \(\frac{{20}}{2} - \frac{x}{2} = \frac{{20 - x}}{2}\left( m \right)\)

Vì diện tích của một phần đất trồng hoa là \(126{m^2}\) nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{30 - x}}{2}.\frac{{20 - x}}{2} = 126\\\left( {30 - x} \right)\left( {20 - x} \right) = 504\\600 - 30x - 20x + {x^2} - 504 = 0\\{x^2} - 50x + 96 = 0\end{array}\)

\(x = 48\) (loại) hoặc \(x = 2\) (thỏa mãn)

Vậy bề rộng của lối đi là 2m.