Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(I\) là trung điểm của \(AC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(IC\). Gọi \(D\) là giao điểm khác \(I\) của \(BI\)  với \(\left( O \right)\).

a) Chứng minh \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(IA.IC = IB.ID\).

c) Cho \(AB = 3\) cm, \(AC = 4\) cm, \(K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\). Tính độ dài đoạn thẳng \(IK\)

a)   Do \(D\) thuộc đường tròn đường kính \(IC\) nên \(\widehat {IDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

      Khi đó \(\Delta BDC\) vuông tại \(D\) nên \(B,D,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

      Tương tự \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(B,A,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

Vậy tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)

b)  Xét \(\Delta IDC\) và \(\Delta IAB\) có

      \(\widehat {DIC} = \widehat {AIB}\) (hai góc đối đỉnh)

      \(\widehat {CDI} = \widehat {IAB} = 90^\circ \)

      Do đó \(\Delta IDC\)\(\Delta IAB\) (g.g)

      Nên \(\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{{IC}}{{IB}}\) hay \(IA.IC = IB.ID\)

   c) Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(IC = \frac{1}{2}AC = 2\) (cm)

                                                Mà \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\) suy ra \(BC = 5\) (cm)

                            Gọi \(E\) là giao điểm thứ hai của \(BC\) với đường tròn tâm \(O\)

                            Xét \(\Delta KBC\) có \(BD,CA\) là đường cao cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là trực tâm của \(\Delta KBC\)

                            Khi đó \(KI \bot BC\)

                            Lại có \(E\) thuộc đường tròn tâm \(O\) nên \(\widehat {IEC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

                            Hay \(IE \bot BC\)

                            Vậy \(K,I,E\) thẳng hàng

                            Xét \(\Delta CIE\) và \(\Delta CBA\) có

                            \(\widehat {ACB}\)  góc chung

                            \(\widehat {CEI} = \widehat {CAB} = 90^\circ \)

                            Nên \(\Delta CBA\) (g.g)

                            Suy ra \(\frac{{CI}}{{CB}} = \frac{{IE}}{{AB}}\) hay \(IE = \frac{{CI.AB}}{{CB}} = \frac{{2.3}}{5} = \frac{6}{5}\) (cm)

                            Khi đó \(C{E^2} = C{I^2} - I{E^2} = {2^2} - {\left( {\frac{6}{5}} \right)^2} = \frac{{64}}{{25}}\) hay \(CE = \frac{8}{5}\) (cm)

                            Suy ra \(BE = BC - CE = 5 - \frac{8}{5} - \frac{{17}}{5}\) (cm)

                            Ta có \(\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\)

                            Mà \(\tan \widehat {KBE} = \frac{{KE}}{{BE}} = \tan \widehat {ABC} = \frac{4}{3}\) nên \(KE = \frac{4}{3}.BE = \frac{4}{3}.\frac{{17}}{5} = \frac{{68}}{{15}}\) (cm)

                            Vậy \(IK = KE - IE = \frac{{68}}{{15}} - \frac{6}{5} = \frac{{10}}{3}\) (cm)