Có tất cả bao nhiêu đa thức \(P(x)\) có bậc không lớn hơn 2 với các hệ số nguyên không âm và thỏa mãn điều kiện \(P(3) = 100\).

a) Ta thấy các tứ giác BCEF, ACDF nội tiếp đường tròn đường kinhh BC, AC. Khi đó

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {MEF}}&{ = {{180}^0} - \widehat {AEF} - \widehat {MEC} = {{180}^0} - \widehat {ABC} - \widehat {MCE}}\\{}&{ = {{180}^0} - \widehat {FBD} - \widehat {BFD} = \widehat {BDF}.}\end{array}\)

Do vậy tứ giác DMEF nội tiếp.

b) Theo giả thiết \(KB \bot AB\) và \(HC \bot AB\) nên \(KB//HC\). Tương tư \(KC \bot AC\) và \(HB \bot AC\) nên \(KC//HB\). Tứ giác KBHC có hai cặp cạnh đối diện song song nhau nên là hình bình hành. Lại vì \(M\) là trung điểm của BC nên H, M, K thẳng hàng.

Mặt khác, \(\widehat {APH} = \widehat {AFH} = {90^^\circ } = \widehat {APK}\) nên  P, H, K  thẳng hàng.

Như vậy  H, M, K, P thẳng hàng.

c) Gọi R là giao điểm của AD và EF. Vì các tứ giác AFDC, AEDB nội tiếp nên

\(\widehat {EDF} = {180^0} - \widehat {FDB} - \widehat {EDC} = {180^0} - 2\widehat {BAC} = {180^0} - \widehat {FIE}.\)

Do vậy IEDF là tứ giác nội tiếp, suy ra \(RE.RF = RI.RD\).

Mặt khác tứ giác AEHF nội tiếp nên \(RE \cdot RF = RH \cdot RA\). Vậy nên

\(\begin{array}{l}RI \cdot RD = RH \cdot RA \Rightarrow \frac{{RA}}{{RI}} = \frac{{RD}}{{RH}}\\ \Rightarrow \frac{{IA}}{{RI}} = \frac{{HD}}{{RH}} \Rightarrow \frac{{IA}}{{HD}} = \frac{{RI}}{{RH}} = \frac{{RA}}{{RD}}\left( 1 \right)\end{array}\)

Từ chứng minh ở câu \({\rm{b)}}\) ta có \(HM \bot AP\), lại vì \(NI \bot AP\) (do NI là đường trung trực của đoạn AP) nên HM\(//\)NI, kết hợp \(NA//DM\) suy ra \(\widehat {DMH} = \widehat {INA}\) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng song song). Từ đây  (tam giác vuông có hai góc nhọn bằng nhau)

\( \Rightarrow \frac{{IA}}{{HD}} = \frac{{AN}}{{DM}}{\rm{. }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{RA}}{{RD}} = \frac{{AN}}{{DM}}\). Vậy nên  (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {ARN} = \widehat {DRM}\).

Vì \(\widehat {NRM} = \widehat {NRA} + \widehat {ARM} = \widehat {MRD} + \widehat {ARM} = \widehat {ARD} = {180^0}\) nên M, N, R thẳng hàng, tức là MN cũng đi qua điểm \(R\). Vậy MN, AD, EF đồng quy.