Có tất cả bao nhiêu đa thức \(P(x)\) có bậc không lớn hơn 2 với các hệ số nguyên không âm và thỏa mãn điều kiện \(P(3) = 100\).

1. Xét hệ phương trình:    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x(x + y) + {y^2} - 4y + 1 = 0\left( 1 \right)}\\{y{{(x + y)}^2} - 2{x^2} - 7y - 2 = 0\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vố phương trình (1) với 2 , ta được

\(2{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 8y + 2 = 0\left( 3 \right)\)

Cộng theo vế phương trình (2) và (3) ta được

\(\begin{array}{l}y{(x + y)^2} + 2xy + 2{y^2} - 15y = 0\\ \Leftrightarrow y\left[ {{{(x + y)}^2} + 2(x + y) - 15} \right] = 0\\ \Leftrightarrow y(x + y - 3)(x + y + 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{x = 3 - y}\\{x =  - 5 - y}\end{array}} \right.\end{array}\)

- Nếu \({\rm{y}} = 0\) thay vào phương trình (1) ta được \({x^2} + 1 = 0\), không có nghiệm thực.

- Nếu \(x = 3 - y\), thay vào phương trình (1) ta được \((3 - y) \cdot 3 + {y^2} - 4y + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {y^2} - 7y + 10 = 0 \Leftrightarrow (y - 2)(y - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2}\\{y = 5}\end{array}} \right.\)

Với \(y = 2\) thì \(x = 1\); với \(y = 5\) thì \(x =  - 2\).

- Nếu \(x =  - 5 - y\), thay vào phương trình \((1)\) ta được \(( - 5 - y) \cdot ( - 5) + {y^2} - 4y + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {y^2} + y + 26 = 0\), không có nghiệm thực vì \({y^2} + y + 26 = {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{103}}{4} > 0\).

Vậy hệ phương trình ban đầu có hai nghiệm là \((x;y) = (1;2)\) và \((x;y) = ( - 2;5)\).

2. Đặt \(x = a + 2021;y = 2b - 2022;z = 3c + 2023\) thì \(S = {x^5} + {y^5} + {z^5}\) và \(P = x + y + z\).

Ta có \(S - P = \left( {{x^5} - x} \right) + \left( {{y^5} - y} \right) + \left( {{z^5} - z} \right)\).

Xét  \(A = {x^5} - x = x(x - 1)(x + 1)\left( {{x^2} + 1} \right).\)

Ta thấy \((x - 1)x(x + 1)\) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên có tích chia hết cho 6 , do vậy \(A\) chia hết cho 6. Theo định lý Fermat, ta cũng có \({x^5} = x(\,\bmod \,5)\) nên \(A\) chia hết cho 5. Mà ƯCLN \((5,6) = 1\) nên \(A = {x^5} - x\) chia hết cho 30 .

Hoàn toàn tương tự \(\left( {{y^5} - y} \right)\) và \(\left( {{z^5} - z} \right)\) cùng chia hết cho 30 . Do vậy \((S - P)\) chia hết cho 30 . Điều này cho biết \(S\) chia hết cho 30 khi và chi khi \(P\) chia hết cho 30 .