Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm BC.

a) Chứng minh tứ giác DMEF là tứ giác nội tiếp.

b) Ðường tròn tâm I đường kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh bốn điểm P, H, M, K thẳng hàng.

c) Các tiếp tuyến tại A và P của đường tròn (I) cắt nhau ở N. Chứng minh ba đường thẳng MN, EF, AH đồng quy.

Ta có bất đẳng thức \({(x - y)^2} \ge 0 \Leftrightarrow xy \le \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4}\). Bởi vậy từ giả thiết,

\({(x + y)^2} = 3 + xy \le 3 + \frac{{{{(x + y)}^2}}}{4} \Rightarrow 0 \le {(x + y)^2} \le 4.\)

Lại để ý đẳng thức \(3\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right) - \left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) = 2{(x + y)^2}\) hay \(0 \le 9 - T = 2{(x + y)^2} \le 8\), vậy \(1 \le T \le 9.\)

Khi \((x;y) = (1;1)\) (thoả mãn giả thiết) thì \(T = 1\).

Khi \((x;y) = (\sqrt 3 ; - \sqrt 3 )\) (thoả mãn giả thiết) thì \(T = 9\).

Kết luận: Giá trị lớn nhất của \(T\) là 9 ; giá trị nhỏ nhất của \(T\) là 1 .

1. Ta có \(x = \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} - \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^3} = (2 + \sqrt 5 ) - (2 - \sqrt 5 ) - 3\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} \cdot \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}(\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }})\\ \Rightarrow {x^3} = 2\sqrt 5  + 3x\\ \Rightarrow (x - \sqrt 5 )\left( {{x^2} - \sqrt 5 x + 2} \right) = 0.\end{array}\)

Chú ý rằng \({x^2} - \sqrt 5 x + 2 = {\left( {x - \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) nên từ đây chỉ có thể \(x = \sqrt 5 \).

Thế nên \(P = {x^{2020}}\sqrt x \left( {{x^2} - 5} \right) + {x^2} + 2017 = 2022\).

2. Bằng tính toán trực tiếp, ta tính được \(x_0^3 = 38 + 17\sqrt 5 ;x_0^2 = 9 + 4\sqrt 5 \). Vì \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \({x^3} + b{x^2} + cx + 1 = 0\) nên

\(\begin{array}{l}x_0^3 + bx_0^2 + c{x_0} + 1 = 0\\ \Rightarrow (38 + 17\sqrt 5 ) + b(9 + 4\sqrt 5 ) + c(2 + \sqrt 5 ) + 1 = 0\\ \Rightarrow (39 + 9b + 2c) + (17 + 4b + c)\sqrt 5  = 0.\end{array}\)

Ta thấy rằng nếu \(17 + 4b + c \ne 0\) thì \(\sqrt 5  = \frac{{39 + 9b + 2c}}{{17 + 4b + c}} \in \mathbb{Q}\) do \(b,c\)là số nguyên, điều vô lí. Do đó \(17 + 4b + c = 0\), kéo theo \(39 + 9b + 2c = 0\).

Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4b + c + 17 = 0}\\{9b + 2c + 39 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b =  - 5}\\{c = 3}\end{array}} \right.} \right.\).

Với \((b;c) = ( - 5;3)\) thì phương trình trở thành  \({x^3} - 5{x^2} + 3x + 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x - 1} \right)(x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 5 }\\{x = 2 - \sqrt 5 }\\{x = 1}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy với \((b;c) = ( - 5;3)\), ngoài nghiệm \({x_0} = 2 + \sqrt 5 \) thì PT còn nghiệm \({x_1} = 2 - \sqrt 5 \) và \({x_2} = 1\).