Cho \(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z\) là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^4}}} + \frac{{{y^4}}}{{{{\left( {y + z} \right)}^4}}} + \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {z + x} \right)}^4}}}.\)
Cho \(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z\) là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^4}}} + \frac{{{y^4}}}{{{{\left( {y + z} \right)}^4}}} + \frac{{{z^4}}}{{{{\left( {z + x} \right)}^4}}}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(P = \frac{1}{{{{\left( {\frac{y}{x} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{z}{y} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{x}{z} + 1} \right)}^4}}}.\)
Đặt \(a = \frac{y}{x},\,b = \frac{z}{y},\,c = \frac{x}{z} \Rightarrow a,b,c > 0\) và \(abc = 1.\)
\( \Rightarrow P = \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {c + 1} \right)}^4}}}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \[\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{16}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{16}}.\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}}} = \frac{1}{2}\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}.\]
Tương tự có \[\frac{1}{{{{\left( {b + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{16}} \ge \frac{1}{2}\frac{1}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}},{\rm{ }}\frac{1}{{{{\left( {c + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{16}} \ge \frac{1}{2}\frac{1}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}.\]
\( \Rightarrow P + \frac{3}{{16}} \ge \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}} \right).\)
Ta chứng minh \(\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{1 + ab}}\) với \(a,{\rm{ }}b > 0.\)
Thật vậy: \[\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{1 + ab}}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2}} \right]\left( {1 + ab} \right) \ge {\left( {a + 1} \right)^2}.{\left( {b + 1} \right)^2}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + 2a + 2b + 2} \right)\left( {1 + ab} \right) \ge {\left( {ab + a + b + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + 2a + 2b + 2} \right)\left( {1 + ab} \right) \ge {\left( {ab + a + b} \right)^2} + 2\left( {ab + a + b} \right) + 1\\ \Leftrightarrow 1 + ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2ab + {a^2}{b^2}\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow ab{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {ab - 1} \right)^2} \ge 0\] (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 1.\)
Tương tự có \(\frac{1}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{1 + c}} = \frac{1}{{1 + \frac{1}{{ab}}}} = \frac{{ab}}{{ab + 1}}.\)
Khi đó \(P \ge \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}} \right) - \frac{3}{{16}}\)
\( \ge \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1 + ab}} + \frac{{ab}}{{ab + 1}} - \frac{1}{4}} \right) - \frac{3}{{16}} = \frac{3}{8} - \frac{3}{{16}} = \frac{3}{{16}}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \(\frac{3}{{16}}.\) Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 1 \Rightarrow x = y = z.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Cho phương trình \({x^2} - 8x + 4 - 8m = 0{\rm{ }}\left( 1 \right).\) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(1 < {x_1} < {x_2}.\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 12 + 8m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{3}{2}.\)
Vì \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của \(\left( 1 \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 8\\{x_1}{x_2} = 4 - 8m\end{array} \right..\)
Ta có \[1 < {x_1} < {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) > 0\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\end{array} \right.\]
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 > 2\\4 - 8m - 8 + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 8m - 3 > 0 \Leftrightarrow m < - \frac{3}{8}.\)
Vậy \( - \frac{3}{2} < m < - \frac{3}{8}\) là các giá trị cần tìm.
b) Gọi \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\) và \(a + b - c = \sqrt 3 .\) Tính giá trị biểu thức \(A = \sqrt {{a^2} + 1} + 3bc.\)
Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ca\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b = c.\)
Mà \(a + b - c = \sqrt 3 \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt 3 .\)
Suy ra \(A = \sqrt {{a^2} + 1} + 3bc = 11.\)
Lời giải
a) Giải phương trình \(2\left( {17{x^2} - 6} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {2x + 5} = 2x\left( {3{x^2} + 22} \right){\rm{ }}\left( 1 \right).\)
+ Điều kiện \(2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{5}{2}.\)
Phương trình \(2\left( {17{x^2} - 6} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {2x + 5} = 2x\left( {3{x^2} + 22} \right){\rm{ }}\left( 1 \right).\)\[\]
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left[ {6{x^2} - 16x - 4 - \left( {x - 1} \right)\sqrt {2x + 5} } \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\6{x^2} - 16x - 4 - \left( {x - 1} \right)\sqrt {2x + 5} = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)
Phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 6{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {2x + 5} \right) - \left( {x - 1} \right)\sqrt {2x + 5} = 0\,\,\,\,\left( 3 \right).\)
+ Khi \(x = 1:\) Không thỏa mãn phương trình \(\left( 3 \right).\)
+ Khi \(x \ne 1,\,\,\left( 3 \right) \Leftrightarrow 2\frac{{2x + 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = \frac{3}{2}\\\frac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = - 2\end{array} \right..\)
\(\frac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\9{x^2} - 26x - 11 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{13 + 2\sqrt {67} }}{9}.\)
\(\frac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\4{x^2} - 10x - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{5 - \sqrt {29} }}{4}.\)
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \(x \in \left\{ {3;\,\frac{{13 + 2\sqrt {67} }}{9};\frac{{5 - \sqrt {29} }}{4}} \right\}.\)
b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {146;2022} \right).\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục \(Ox.\) Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác \(OAH.\) (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên).
Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục \(Ox\) nên \(H\left( {146;0} \right).\)
Gọi \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục \(Oy,\) suy ra \(B\left( {0;2022} \right).\)
Gọi \(C\) là trung điểm của đoạn \(OA,\) suy ra \(C\left( {73;2011} \right).\)
Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right){\rm{ }}\left( {{x_0};{y_0} \in \mathbb{Z}} \right)\) là điểm nguyên nằm trong \(\Delta OAH\) khi và chỉ khi điểm \(M'\left( {{{x'}_0};{{y'}_0}} \right){\rm{ }}\left( {{{x'}_0};{{y'}_0} \in \mathbb{Z}} \right)\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(C\) nằm trong \(\Delta OAB.\)
Suy ra số điểm nguyên nằm trong \(\Delta OAH\) bằng số điểm nguyên nằm trong \(\Delta OAB.\)
Do đó số điểm nguyên nằm trong tam giác \(OAH\) bằng \(\frac{1}{2}\)(số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật \(ABOH\) trừ đi số điểm nguyên nằm trên đoạn thẳng \(OA).\)
Số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật \(ABOH\) bằng \(145.2021 = 293045.\)
Phương trình đường thẳng \(OA\) là \(y = \frac{{1011}}{{73}}x.\) Từ đó kiểm tra được số điểm nguyên trên đoạn thẳng \(OA\) (trừ điểm \(O\) và \(A\)) bằng \(1.\)
Vậy số điểm nguyên trong \(\Delta OAH\) bằng \(\frac{{293045 - 1}}{2} = 146522.\)
Câu 3
a) Xác định các hệ số \(a,\,\,b,\,\,c\) của đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c.\) Biết \(P\left( { - 2} \right) = - 29,\,\,P\left( 1 \right) = - 5\) và\(\,P\left( 3 \right) = 1.\)
b) Cho \(n\) là số nguyên dương sao cho \(4n + 13\) và \(5n + 16\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(2023n + 45\) chia hết cho \(24.\)
a) Xác định các hệ số \(a,\,\,b,\,\,c\) của đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c.\) Biết \(P\left( { - 2} \right) = - 29,\,\,P\left( 1 \right) = - 5\) và\(\,P\left( 3 \right) = 1.\)
b) Cho \(n\) là số nguyên dương sao cho \(4n + 13\) và \(5n + 16\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(2023n + 45\) chia hết cho \(24.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập