Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(AB = 2R.\) Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(A.\) Trên \(\Delta \) lấy điểm \(M\) sao cho \(MA > R.\) Qua \(M\) vẽ tiếp tuyến \(MC\) \((C\) thuộc đường tròn \((O),\)\(C\) khác \(A).\) Gọi \(H\) và \(D\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AB\) và \(AM.\) Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(O\) và vuông góc với \[AB.\] Gọi \(N\) là giao điểm của \(d\) và \(BC.\)

1. Chứng minh \(OM{\rm{//}}BN\) và \(MC = NO.\)

2. Gọi \(Q\) là giao điểm của \(MB\) và \(CH,\) \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(OM.\) Chứng minh đường thẳng \(QK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BC.\)

3. Gọi \(F\) là giao điểm của \(QK\) và \(AM,\) \(E\) là giao điểm \(CD\) và \(OM.\) Chứng minh tứ giác \(FEQO\) là hình bình hành. Khi \(M\) thay đổi trên \(\Delta ,\) tìm giá trị lớn nhất của \(QF + EO.\) 

Ta có

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) \ge 512{x^2}{y^2}{z^2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 - z} \right)\left( {1 + z} \right) \ge 512{x^2}{y^2}{z^2}\end{array}\]

Do \(x + y + z \le 1\) nên ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right)\\ \ge \left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)\left( {2x + y + z} \right)\left( {x + 2y + z} \right)\left( {x + y + 2z} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Chứng minh được: \(\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \ge 8xyz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Và:

                    \(\begin{array}{l}\,\,\,\left( {2x + y + z} \right)\left( {x + 2y + z} \right)\left( {x + y + 2z} \right)\\ \ge 2\sqrt {x + y} \sqrt {x + z} \,\,\,2\sqrt {y + x} \sqrt {y + z} \,\,\,2\sqrt {z + x} \sqrt {z + y} \\ = 8\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\\ \ge 8.8xyz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right).\end{array}\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{1}{3}.\)

1.\[S = \frac{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {1 - \sqrt {ab} } \right) + \left( {\sqrt {ab}  + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt {ab}  + 1} \right) + 1 - ab}}{{1 - ab}}:\frac{{a + \sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt {ab} }}{{1 - ab}}\]

\( = \frac{{2\sqrt a  + 2}}{{1 - ab}}:\frac{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{1 - ab}}\)

\( = \frac{{2\sqrt a  + 2}}{{1 - ab}} \cdot \frac{{1 - ab}}{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{2}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\)

2.\(a = 3 + 2\sqrt 2  = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt a  = 1 + \sqrt 2 .\)

\(b = 11 - 6\sqrt 2  = {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt b  = \left| {3 - \sqrt 2 } \right| = 3 - \sqrt 2 .\)

\(S = \frac{2}{{1 + \sqrt 2  + 3 - \sqrt 2 }} = \frac{1}{2}.\)