Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z \le 1.\) Chứng minh rằng
\(\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{y^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{z^2}}} - 1} \right) \ge 512.\)
Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z \le 1.\) Chứng minh rằng
\(\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{y^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{z^2}}} - 1} \right) \ge 512.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) \ge 512{x^2}{y^2}{z^2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 - z} \right)\left( {1 + z} \right) \ge 512{x^2}{y^2}{z^2}\end{array}\]
Do \(x + y + z \le 1\) nên ta có
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right)\\ \ge \left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)\left( {2x + y + z} \right)\left( {x + 2y + z} \right)\left( {x + y + 2z} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Chứng minh được: \(\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \ge 8xyz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)
Và:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\left( {2x + y + z} \right)\left( {x + 2y + z} \right)\left( {x + y + 2z} \right)\\ \ge 2\sqrt {x + y} \sqrt {x + z} \,\,\,2\sqrt {y + x} \sqrt {y + z} \,\,\,2\sqrt {z + x} \sqrt {z + y} \\ = 8\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\\ \ge 8.8xyz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right).\end{array}\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{1}{3}.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1.Ta có \(MA = MC\) và \(OA = OC\) suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC, suy ra \(MO \bot AC.\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Do \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACB} = {90^0} \Rightarrow AC \bot BN.\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(MO{\rm{//B}}N.\,\,\)
Xét \(\Delta MAO\) và \(\Delta NOB\) vuông tại \(A\) và \(O\); \(AO = OB\); \(\widehat {AOM} = \widehat {NBO}\)( hai góc đồng vị)
Suy ra \(\Delta MAO = \Delta NOB \Rightarrow MA = NO.\)
Mặt khác :\(MA = MC\,\, \Rightarrow MC = ON.\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
2.Do \(QH{\rm{//}}AM\) suy ra \(\frac{{QH}}{{AM}} = \frac{{BH}}{{BA}}\,\,\,(3).\)
Do \(CH{\rm{//}}ON\) suy ra \(\frac{{CH}}{{ON}} = \frac{{HB}}{{OB}} \Rightarrow \frac{{CH}}{{AM}} = \frac{{HB}}{{\frac{1}{2}AB}}\,\,\,\,\left( 4 \right).\)
Từ (3) và (4) ta có \(QH = \frac{1}{2}CH\), suy ra \(Q\) là trung điểm của \(CH.\)
Lại có \(K\) là trung điểm \(AC.\) Suy ra \(QK\) đi qua trung điểm của \(CB.\)
3.Chứng minh \(ADCH\) là hình chữ nhật. Do \(K\) là trung điểm \(AC\)và Q là trung điểm \(CH\) suy ra \(F\) là trung điểm \(AD.\)
Ta có \(\Delta EKC = \Delta OKA\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow KE = KO\)
Ta có \(\Delta FKA = \Delta QKC\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow KF = KQ.\)
Suy ra \(FEQO\) là hình bình hành.
Ta có \(FQ + EO = AH + CB = AH + \sqrt {BH.BA} = AH + \sqrt {\left( {AB - AH} \right)AB} .\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,AH + \sqrt {\left( {AB - AH} \right)AB} = AH + \frac{1}{{AB}} \cdot 2 \cdot \frac{{AB}}{2} \cdot \sqrt {A{B^2} - AB.AH} \\ \le AH + \frac{1}{{AB}}\left( {\frac{{A{B^2}}}{4} + A{B^2} - AB.AH} \right) = \frac{5}{4}AB.\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \[AH = \frac{3}{4}AB \Leftrightarrow AM = \sqrt 3 .R.\]
Lời giải
1.\[S = \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {1 - \sqrt {ab} } \right) + \left( {\sqrt {ab} + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt {ab} + 1} \right) + 1 - ab}}{{1 - ab}}:\frac{{a + \sqrt a + \sqrt b + \sqrt {ab} }}{{1 - ab}}\]
\( = \frac{{2\sqrt a + 2}}{{1 - ab}}:\frac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{1 - ab}}\)
\( = \frac{{2\sqrt a + 2}}{{1 - ab}} \cdot \frac{{1 - ab}}{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}\)
\( = \frac{2}{{\sqrt a + \sqrt b }}\)
2.\(a = 3 + 2\sqrt 2 = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt a = 1 + \sqrt 2 .\)
\(b = 11 - 6\sqrt 2 = {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt b = \left| {3 - \sqrt 2 } \right| = 3 - \sqrt 2 .\)
\(S = \frac{2}{{1 + \sqrt 2 + 3 - \sqrt 2 }} = \frac{1}{2}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập