Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z \le 1.\) Chứng minh rằng
\(\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{y^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{z^2}}} - 1} \right) \ge 512.\)
Cho ba số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z \le 1.\) Chứng minh rằng
\(\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{y^2}}} - 1} \right)\left( {\frac{1}{{{z^2}}} - 1} \right) \ge 512.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) \ge 512{x^2}{y^2}{z^2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 - z} \right)\left( {1 + z} \right) \ge 512{x^2}{y^2}{z^2}\end{array}\]
Do \(x + y + z \le 1\) nên ta có
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right)\\ \ge \left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)\left( {2x + y + z} \right)\left( {x + 2y + z} \right)\left( {x + y + 2z} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Chứng minh được: \(\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \ge 8xyz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)
Và:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\left( {2x + y + z} \right)\left( {x + 2y + z} \right)\left( {x + y + 2z} \right)\\ \ge 2\sqrt {x + y} \sqrt {x + z} \,\,\,2\sqrt {y + x} \sqrt {y + z} \,\,\,2\sqrt {z + x} \sqrt {z + y} \\ = 8\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\\ \ge 8.8xyz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right).\end{array}\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{1}{3}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1.Ta có \(MA = MC\) và \(OA = OC\) suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC, suy ra \(MO \bot AC.\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Do \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACB} = {90^0} \Rightarrow AC \bot BN.\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(MO{\rm{//B}}N.\,\,\)
Xét \(\Delta MAO\) và \(\Delta NOB\) vuông tại \(A\) và \(O\); \(AO = OB\); \(\widehat {AOM} = \widehat {NBO}\)( hai góc đồng vị)
Suy ra \(\Delta MAO = \Delta NOB \Rightarrow MA = NO.\)
Mặt khác :\(MA = MC\,\, \Rightarrow MC = ON.\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
2.Do \(QH{\rm{//}}AM\) suy ra \(\frac{{QH}}{{AM}} = \frac{{BH}}{{BA}}\,\,\,(3).\)
Do \(CH{\rm{//}}ON\) suy ra \(\frac{{CH}}{{ON}} = \frac{{HB}}{{OB}} \Rightarrow \frac{{CH}}{{AM}} = \frac{{HB}}{{\frac{1}{2}AB}}\,\,\,\,\left( 4 \right).\)
Từ (3) và (4) ta có \(QH = \frac{1}{2}CH\), suy ra \(Q\) là trung điểm của \(CH.\)
Lại có \(K\) là trung điểm \(AC.\) Suy ra \(QK\) đi qua trung điểm của \(CB.\)
3.Chứng minh \(ADCH\) là hình chữ nhật. Do \(K\) là trung điểm \(AC\)và Q là trung điểm \(CH\) suy ra \(F\) là trung điểm \(AD.\)
Ta có \(\Delta EKC = \Delta OKA\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow KE = KO\)
Ta có \(\Delta FKA = \Delta QKC\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow KF = KQ.\)
Suy ra \(FEQO\) là hình bình hành.
Ta có \(FQ + EO = AH + CB = AH + \sqrt {BH.BA} = AH + \sqrt {\left( {AB - AH} \right)AB} .\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,AH + \sqrt {\left( {AB - AH} \right)AB} = AH + \frac{1}{{AB}} \cdot 2 \cdot \frac{{AB}}{2} \cdot \sqrt {A{B^2} - AB.AH} \\ \le AH + \frac{1}{{AB}}\left( {\frac{{A{B^2}}}{4} + A{B^2} - AB.AH} \right) = \frac{5}{4}AB.\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \[AH = \frac{3}{4}AB \Leftrightarrow AM = \sqrt 3 .R.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1.Xét theo \(\bmod \,3\) ta có
\({y^2} \equiv \left\{ {0;1} \right\}\left( {\bmod 3} \right)\) và \(2021 \equiv 2\left( {\bmod 3} \right).\)
\({x^3} - x = \left( {x - 1} \right)x\left( {x + 1} \right) \equiv 0\left( {\bmod 3} \right);\) \(3z \equiv 0\left( {\bmod 3} \right).\)
Như vậy vế trái chia cho 3 dư \(0\) hoặc 1 mà vế phải chia cho 3 dư 2. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên.
2.Ta chứng minh từ 2025 điểm đã cho tạo ra được đúng 4044 tam giác không có điểm trong chung (tức là: mọi điểm Y đã nằm ở miền trong tam giác này thì không nằm ở miền trong tam giác kia)
Bước 1: từ A, B, C, D và \[{A_1}\] tạo ra được 4 tam giác không có điểm trong chung.
Bước 2: Điểm \({A_2}\) sẽ nằm bên trong của một trong 4 tam giác đã có. Không mất tính tổng quát ta giả sử \({A_2}\) nằm trong \(\Delta AB{A_1}\), khi đó sẽ tạo ra thêm được 2 tam giác. Như vậy có \(4 + 2 = 6\) tam giác không có điểm trong chung.
Bước 3: Điểm \({A_3}\) sẽ nằm ở một trong 6 tam giác đã có, không mất tính tổng quát, giả sử \({A_3}\) nằm trong \(\Delta AB{A_2}\). Khi đó ta có \(6 + 2 = 8\) tam giác không có điểm trong chung.
Sau 2021 bước như vậy thì hình vuông đã cho được chia thành 4044 tam giác không có điểm trong chung.
Mặt khác tổng diện tích 4044 tam giác đó bằng 1, suy ra tồn tại ít nhất một tam giác có diện tích không quá \(\frac{1}{{4044}}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập