Cho biểu thức: \(A = \frac{{6\sqrt x  - 8}}{{x - 16}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{2}{{\sqrt x  - 4}}\) và \(B = \frac{{x - \sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 4}}\), với \[x \ge 0,\,x \ne 16\].

a) Tính giá trị của biểu thức \[B\] khi \[x = 9\]         .

b) Chứng minh rằng \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}}\)  .

c) Đặt \[P = \frac{A}{B}\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[P\].

a) Tính giá trị của biểu thức \[B\] khi \[x = 9\]         .

Với \[x = 9\] thỏa điều kiện \[x \ge 0,\,x \ne 16\] nên ta có:

\(B = \frac{{9 - \sqrt 9  + 4}}{{\sqrt 9  - 4}} = \frac{{9 - 3 + 4}}{{3 - 4}} = \frac{{10}}{{ - 1}} =  - 10\)

Vậy khi \[x = 9\] thì \(B =  - 10\).

b) Chứng minh rằng \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}}\)  .

Với \[x \ge 0,\,x \ne 16\], ta có:

\(A = \frac{{6\sqrt x  - 8}}{{x - 16}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{2}{{\sqrt x  - 4}}\)

\(A = \frac{{6\sqrt x  - 8}}{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{2}{{\sqrt x  - 4}}\)

\(A = \frac{{6\sqrt x  - 8}}{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 4} \right)}}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{{2\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{\sqrt x  - 4}}\)

\(A = \frac{{6\sqrt x  - 8 + x - 4\sqrt x  + 2\sqrt x  + 8}}{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}}\)

\(A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}}\)

\(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}}\)

Vậy với \[x \ge 0,\,x \ne 16\] thì \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}}\).

 c) Đặt \[P = \frac{A}{B}\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[P\].

 Với \[x \ge 0,\,x \ne 16\], ta có:

\[P = \frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}}:\frac{{x - \sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 4}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 4}}{{x - \sqrt x  + 4}} = \frac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 4}}\]

* Với \[x = 0\], ta có: \[P = \frac{{\sqrt 0 }}{{0 - \sqrt 0  + 4}} = 0\,\,\left( 1 \right)\]

* Với \[x > 0,\,x \ne 16\], ta có:

\[P = \frac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 4}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 1 + \frac{4}{{\sqrt x }}}}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \[\sqrt x \] và \[\frac{4}{{\sqrt x }}\], ta có:

\[\begin{array}{l}\sqrt x  + \frac{4}{{\sqrt x }} \ge 4\\\sqrt x  - 1 + \frac{4}{{\sqrt x }} \ge 3\\\frac{1}{{\sqrt x  - 1 + \frac{4}{{\sqrt x }}}} \le \frac{1}{3}\end{array}\].

Hay \[P \le \frac{1}{3}\,\,\left( 2 \right)\]

Dấu  xảy ra khi \[\sqrt x  = \frac{4}{{\sqrt x }}\] hay \[x = 4\] (thỏa mãn)

Từ \[\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\] ta có \[{P_{\max }} = \frac{1}{3}\,\,\]khi \[x = 4\].

Vậy giá trị lớn nhất của \[P\] bằng \[\frac{1}{3}\], đạt được tại \[x = 4\].