Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau. Lấy điểm \(M\) thuộc cung nhỏ \(BC\) (\(M\) khác \(B\) và \(M\) khác\(C\)). Đoạn thẳng \(MD\) cắt đoạn thẳng \(OB\) tại \(I\), đoạn thẳng \(OC\)cắt đoạn thẳng \(AM\) tại \(K\).

a) Chứng minh tứ giác \(OBMK\) nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \(DI.DM = 2{R^2}\).

c) Tia phân giác của góc \(IOM\)cắt \(MI\) tại điểm \(E\). Chứng minh rằng \(\tan \widehat {ODI} = \frac{{EI}}{{EM}}\).

d) Cho \(IB = 2.IO\). Tính tỉ số \(\frac{{MB}}{{MC}}\).

Ở một hội chợ thương mại, người ta dựng trên mặt sân một cái cổng có dạng parabol \(y = a{x^2}\)(như hình vẽ bên). Biết chiếc cổng có chiều cao \(OH = 8\)m và khoảng cách giữa hai chân cổng là \(AB = 6\)m. Người ta treo trên cổng một dây đèn trang trí song song với đường thẳng \(AB\), từ điểm \(M\)đến điểm \(N\), khoảng cách \(MN = 3\)m. Tính giá trị của \(a\) và khoảng cách từ dây đèn đến mặt sân.

Trong thư viện có một giá sách được chia thành hai ngăn \(I\)và \(II\). Ban đầu số cuốn sách ở ngăn \(I\)nhiều hơn số cuốn sách ở ngăn \(II\) là \(100\) cuốn. Sau khi người ta chuyển \(25\% \)số cuốn sách ở ngăn \(I\)sang ngăn \(II\) thì số cuốn sách ở ngăn \(I\)bằng \(75\% \) số cuốn sách ở ngăn \(II\). Tính số cuốn sách ở mỗi ngăn lúc ban đầu.

Cho biểu thức: \(A = \frac{{6\sqrt x  - 8}}{{x - 16}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{2}{{\sqrt x  - 4}}\) và \(B = \frac{{x - \sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 4}}\), với \[x \ge 0,\,x \ne 16\].

a) Tính giá trị của biểu thức \[B\] khi \[x = 9\]         .

b) Chứng minh rằng \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}}\)  .

c) Đặt \[P = \frac{A}{B}\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[P\].

Số bài tập về nhà môn Toán đã làm của \[40\] học sinh trong lớp \[9A\] vào tuần trước được thống kê trong bảng tần số sau:

Lập bảng tần số tương đối của bảng số liệu trên.

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số không âm thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng

\(\sqrt {6a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {6b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {6c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}}  \le 6\sqrt 2 \).

Một hộp có \(12\)chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số tự nhiên từ \(1\) đến \(12\), hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp, Tính xác suất của biến cố \(A\): “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra chia hết cho \(3\)”.