Ở một hội chợ thương mại, người ta dựng trên mặt sân một cái cổng có dạng parabol \(y = a{x^2}\)(như hình vẽ bên). Biết chiếc cổng có chiều cao \(OH = 8\)m và khoảng cách giữa hai chân cổng là \(AB = 6\)m. Người ta treo trên cổng một dây đèn trang trí song song với đường thẳng \(AB\), từ điểm \(M\)đến điểm \(N\), khoảng cách \(MN = 3\)m. Tính giá trị của \(a\) và khoảng cách từ dây đèn đến mặt sân.

a) Chứng minh tứ giác \(OBMK\) nội tiếp.

\(\widehat {KMB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đương tròn)

\(\widehat {KOB} = 90^\circ \) (vì hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau)

Do đó tam giác \(BMK\) và tam giác \(OBK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BM\)

Suy ra bốn điểm \(B\), \(O\), \(M\), \(K\) thuộc đường tròn đường kính \(BK\).

Vậy tứ giác \(OBMK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BK\).

b) Chứng minh rằng \(DI.DM = 2{R^2}\).

\(\widehat {CMD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác \(OID\) vuông tại \(O\) và tam giác \(MCD\) vuông tại \(M\) có \(\widehat {CDM}\) chung

Suy ra  (g.g)

Nên \[\frac{{DI}}{{DC}} = \frac{{DO}}{{DM}}\]

Do đó \(DI.DM = 2R.R = 2{R^2}\)

c) Tia phân giác của góc \(IOM\)cắt \(MI\) tại điểm \(E\). Chứng minh rằng \(\tan \widehat {ODI} = \frac{{EI}}{{EM}}\).

Xét tam giác \(OMI\) có \(OE\) là tia phân giác \(\widehat {MOI}\) nên \[\frac{{EI}}{{EM}} = \frac{{OI}}{{OM}}\,\,\,\left( 1 \right)\]

Xét tam giác \(OID\) vuông tại \(O\) nên \(\tan \widehat {ODI} = \frac{{OI}}{{OD}} = \frac{{OI}}{{OM}}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(\tan \widehat {ODI} = \frac{{EI}}{{EM}}\)

d) Cho \(IB = 2.IO\). Tính tỉ số \(\frac{{MB}}{{MC}}\).

Ta có  (theo câu b)

Suy ra \[\frac{{IO}}{{MC}} = \frac{{DO}}{{MD}}\] nên \[MC = \frac{{IO.MD}}{{DO}}\,\,\,\left( 3 \right)\]

Xét tam giác \(DIB\) và tam giác \(DBM\) có

\(\widehat {BDM}\): góc chung

\(\widehat {IBD} = \widehat {BMD}\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung \(AD\) và \(BD\) bằng nhau của \(\left( O \right)\))

Suy ra  (g.g)

Nên \[\frac{{IB}}{{BM}} = \frac{{DB}}{{MD}}\]

Do đó \[MB = \frac{{IB.MD}}{{DB}}\,\,\,\left( 4 \right)\]

Từ (3) và (4) ta suy ra: \(\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{IB.MD}}{{DB}} \cdot \frac{{DO}}{{IO.MD}} = \frac{{2IO.R}}{{IO.R\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).

Số cuốn sách ở ngăn II lúc đầu là: \(y\) cuốn \(\left( {y \in N;\,\,y > 0} \right)\)

Số cuốn sách ở ngăn I nhiều hơn số cuốn sách ở ngăn II là \(100\) cuốn nên ta có phương trình: \(x - y = 100\,\,\left( 1 \right)\).

Chuyển \(25\% \) số cuốn sách ở ngăn I sang ngăn II thì số cuốn sách ở ngăn I bằng \(75\% \) số cuốn sách ở ngăn II nên ta có phương trình:

 \(\frac{{75}}{{100}}x = \frac{{75}}{{100}}\left( {y + \frac{{25}}{{100}}x} \right)\) hay \(y = \frac{3}{4}x\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 100\\y = \frac{3}{4}x\end{array} \right.\)

Giải hệ trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 400\\y = 300\end{array} \right.\) (thoả mãn điều kiện)

Vậy số cuốn sách ở ngăn I lúc đầu là 400 cuốn.

Số cuốn sách ở ngăn II lúc đầu là 300 cuốn.