Cho tam giác nhọn \(ABC\). Các đường cao \(AK\), \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AH,\)\(N\) là trung điểm của đoạn \(BC\).

Chứng minh rằng:

          a) Bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(F\) cùng nằm trên một đường tròn.

          b) \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\).

          c) \(C{I^2} - I{E^2} = CK.CB\).

a) Chứng minh bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), .\(F\). nằm trên cùng một đường tròn.

Ta có \[\widehat {AEB} = 90^\circ \] (do \(BE\) là đường cao của \(\Delta ABC\)) hay \[\widehat {AEH} = 90^\circ \].

\[\widehat {AFC} = 90^\circ \] (do \(CF\) là đường cao của \(\Delta ABC\)) hay \[\widehat {AFH} = 90^\circ \].

Suy ra bốn điểm \(A,E,H,F\) cùng nằm trên một đường tròn đường kính \(AH\) (đpcm)

b) Chứng minh \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\).

Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH\) nên \(I\) là tâm đường tròn đường kính \(AH\) suy ra \(IA = IE\)

Vì\(\Delta IAE\) cân tại \(I\) nên \({\widehat A_1} = {\widehat E_1}\)                              (1)

\[\Delta EBC\] vuông tại \[E\]có \[EN\] là đường trung trrung tuyến ứng với cạnh huyền \[BC\]

Nên \(EN = NC = \frac{{BC}}{2}\,\)

Suy ra \[\Delta ENC\] cân tại \[N\] nên \(\widehat {NCE} = \widehat {{E_4}}\)               (2)

Xét \[\Delta AKC\] vuông tại \[K\] có \[\widehat {KCA} + {\widehat A_1} = 90^\circ \] hay \[\widehat {NCE} + {\widehat A_1} = 90^\circ \] (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \({\widehat E_1} + {\widehat E_4} = 90^\circ \)

Lại có \({\widehat E_1} + {\widehat E_4} + \widehat {IEN} = 180^\circ \) (do \(A;\;E;\;C\) thẳng hàng)

Suy ra \(90^\circ + \widehat {IEN} = 180^\circ \) hay \(\widehat {IEN} = 90^\circ \)

Suy ra \(EN \bot EI\) tại \(E\)

Do đó \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\) (đpcm)

c) Chứng minh \(C{I^2} - I{E^2} = CK.CB\).

Áp dụng định lí Pythagore \(\Delta CIK\) vuông tại \(K\), ta có: \(C{I^2} = C{K^2} + I{K^2}\)

Lại có \(IA = IE = IH\) (cùng bán kính đường tròn tâm I)

Suy ra \[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + I{K^2} - I{E^2}\]

\[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IE)\]

\[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IH)\] \[ = C{K^2} + AK\;.\;KH\]                      \(\left( 4 \right)\)

Ta lại có \[CK.CB = CK(CK + KB)\] \[ = C{K^2} + CK\;.\;KB\]                            \(\left( 5 \right)\)

Xét \(\Delta KBH\) và \(\Delta KAC\) có

\(\widehat {KBH} = \widehat {KAC}\) (\( = 90^\circ - \widehat {ACB}\)); \[\widehat {BKH} = \widehat {AKC} = 90^\circ \]

Do đó \[\left( {g - g} \right)\]

Nên \(\frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{KH}}{{KC}}\) suy ra \(KA\;.\;KH = KB\;.\;KC\) hay \(AK\;.\;KH = CK\;.\;KB\)      \(\left( 6 \right)\)

Từ \[\left( 4 \right)\],\(\left( 5 \right)\) và \(\left( 6 \right)\) suy ra \[C{I^2} - I{E^2} = CK\;.\;CB\] (đpcm)