Cho phương trình \({x^2} - 5x + 2 = 0\) (*)

a) Chứng minh rằng phurơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức \(P = {x_1} + {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\)

1. Vì PB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(PB \bot OB\) tại \(B\) hay \(\widehat {OBP} = {90^ \circ }\)

Tam giác OBP vuông tại B nên \(O,B,P\) thuộc đường tròn đường kính \(OP\)

Vì PC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(PC \bot OC\) tại \(C\) hay \(\widehat {OCP} = {90^ \circ }\)

Tam giác OCP vuông tại C nên \(O,C,P\) thuộc đường tròn đường kính \(OP\)

Suy ra bốn điểm \(O,B,P,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OP\).

2. Vì \(PB\) và \(PC\) là hai tiếp tuyến cẳt nhau tại \(P\) của \(\left( O \right)\) nên ta có \(PB = PC\)

Suy ra \(P\) thuộc đường trung trực của \(BC\)

Mà \(OB = OC\) nên O thuộc đường trung trực của \(BC\)

Suy ra \(OP\) là dường trung trực của \(BC\)

Do đó \(OP \bot BC\) tại \(H\) hay \(OH \bot BC\)

Xét \(OHB\) và \(OBP\) có:

Góc \(O\) chung \(\widehat {OHB} = \widehat {OBP} = {90^ \circ }\)

Suy ra  (g.g)

Suy ra \(\frac{{OH}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OP}}\) hay \(O{B^2} = OP.OH\).

3. Xét \(\Delta OPI\) và \(\Delta OIH\) có \(\widehat {POT}\) chung và \(\widehat {OHT} = \widehat {OIP} = {90^ \circ }\)
Suy ra  (g.g ) nên \(\frac{{OP}}{{OT}} = \frac{{OI}}{{OH}}\) hay \(OP.OH = OI.OT\)
Suy ra \(OI.OT = O{B^2}\) nên \(\frac{{OI}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OT}}\)
Kết hợp với \(\widehat {BOT}\) chung nên suy ra \(\Delta OBT \sim \Delta OIB\) (g.g )
Suy ra \(\widehat {OIB} = \widehat {OBT}\) (1)
Ta có \(\Delta OMA = \Delta OKB\) (g.c.g ) nên \(\widehat {KMA} = \widehat {MKB}\) suy ra \(MA{\rm{//}}KB\)
Lại có \(OI \bot AM\), \(OAM\) cân nên OI là trung trục đồng thời là phân giác của AM
Suy ra \(\widehat {IOM} = \widehat {IOA}\) suy ra \(\widehat {IOB} = \widehat {IOK}\) (cùng cộng với 2 góc đối đinh bằng nhau)
Khi đó \(\Delta OIB = \Delta OIK\) (c.g.c ) suy ra \(\widehat {OIB} = \widehat {OIK}\) (2)
Do \(OIP\) vuông tại \(I\) và \(OPC\) vuông tại C nên \(O,I,C,P\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OP\)
Suy ra \(\widehat {CIT} = \widehat {CPO}\) (cùng cộng với \(\widehat {OIC}\) bằng \({180^ \circ }\))
Mà \(\widehat {CPO} = \widehat {OBT}\) (cùng chắn cung OC) nên \(\widehat {CIT} = \widehat {CBT}\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {CIT} = \widehat {OIK}\)
Mà \(\widehat {CIT} + \widehat {CIO} = {180^ \circ }\) nên \(\widehat {CIO} + \widehat {OIK} = {180^ \circ }\) hay \(C,I,K\) thẳng hàng.

Ta có  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 1}\\{2x + y = 8}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 1}\\{3x = 9}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = x - 1}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x,y} \right) = \left( {3;2} \right)\).