Cho nửa đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AB\]. Tại điểm \[O\], kẻ đường thẳng vuông góc với \[AB\] cắt nửa đường tròn tâm \[O\] tại điểm \[M\]. Lấy điểm \[E\] bất kỳ trên cung ( \[E\] khác \[A\] và \[M\]). Gọi \[K\] là giao điểm của \[MO\] và \[BE\].

a)     Bốn điểm \[A,E,K,O\] có cùng thuộc một đường tròn không? Vì sao?

b)    Chứng minh rằng \[\Delta AMB\] vuông cân.

c)     Hai đường thẳng \[AE\] và \[OM\] cắt nhau tại \[D\]. Chứng minh rằng \[MK.ED = MD.EK\].

a)     Ta có \[\Delta AEK\] vuông tại \[E\] (do \[\Delta AEB\] nội tiếp nửa đường tròn đường kính \[AB\])

Do đó \[A,E,K\] nội tiếp nửa đường tròn đường kính \[AK\,\,\left( 1 \right)\].

\[\Delta AOK\] vuông tại \[O\] (do \[MO \bot AB\])

Do đó \[A,K,O\] nội tiếp  đường tròn đường kính \[AK\] (2).

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] ta suy ra \[A,E,K,O\] cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính \[AK\].

b)    Xét \[\Delta AMO\] và \[\Delta BMO\] có:

\[AO = OB\]; \[\widehat {AOM} = \widehat {BOM} = 90^\circ \]; \[OM\] chung

Do đó \[\Delta AMO = \Delta BMO\left( {c - g - c} \right)\]

Suy ra \[AM = MB\]

Mà \[\Delta AMB\] vuông tại \[M\](do \[\Delta AMB\] nội tiếp nửa đường tròn đường kính \[AB\])

Vậy \[\Delta AMB\] vuông cân tại \[M\].

c)     Ta có: \[AEMB\] nội tiếp nửa đường tròn đường kính \[AB\]nên \[\widehat {AEM} + \widehat {MBA} = 180^\circ \].

Mà \[\widehat {DEM} + \widehat {AEM} = 180^\circ \].

Suy ra \[\widehat {DEM} = \widehat {MBA}\].

Mà \[\widehat {MBA} = \widehat {MAB} = \widehat {MEB}\]

Nên ta có: \[\widehat {DEM} = \widehat {MEB},\widehat {DEM} = \widehat {MEK}\]

Do đó \[EM\] là tia phân giác \[\widehat {AEK}\].

Suy ra \[\frac{{MD}}{{MK}} = \frac{{ED}}{{EK}}\], hay \[MK.ED = MD.EK\].