Bạn Lan đi xe đạp từ địa điểm \(A\) đến địa điểm \(B\) với vận tốc không đổi. Biết quãng đường \(AB\) dài \[20{\rm{ km}}\] . Khi đi từ \(B\) trở về \(A\), bạn Lan tăng vận tốc thêm \(2{\rm{\;km/h}}\), vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là \[20\] phút. Tính vận tốc của Lan khi đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\).

a) Chứng minh tứ giác \[DFEB\] là tứ giác nội tiếp.
Ta có \(DF \bot AB\) nên \(\Delta DFB\) vuông tại \[D\]

Suy ra \(D\), \(F\), \(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[FB\]
Ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta FBE\) vuông tại \[E\]
Suy ra \(D\), \(E\), \(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[FB\]
Vậy \(D\), \(E\), \(B\), \(F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[FB\] hay \[DFEB\] là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(OI\) đi qua trung điểm của \[MN\].

Gọi \(K\) là giao điểm của \(HA\) và \(\left( O \right)\)

Khi đó \(AE\), \(HD\), \(BK\) là các đường cao của tam giác \(HAB\)
Do đó \(AE\), \(HD\), \(BK\) đồng quy tại \(F\) hay \(B\), \(F\), \(K\) thẳng hàng
Vì \(\Delta HKF\) vuông tại \(K\), \(\Delta HEF\) vuông tại \(E\) nên \(H\), \(K\), \(F\), \(E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(HF\)
Suy ra \(KI = IE\)
Do đó \(I\) thuộc đường trung trực của \(EK\)
Mà \(O\) thuộc đường trung trực của \(EK\) (do \(OE = OK\) )
Nên \(OI\) là trung trực của \(EK\)
Gọi \(L\) là giao điểm của \(OI\) và \(EK\). Khi đó \(L\) là trung điểm của \(EK\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(AE\) nên \(ML\) là đường trung bình của \(\Delta AKE\)
Do đó \(ML\,{\rm{//}}\,AK\), \(ML = \frac{1}{2}AK\;\;\left( 1 \right)\)
Tương tự \(ON\,{\rm{//}}\,AK\), \(ON = \frac{1}{2}AK\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \[MLNO\] là hình bình hành
Do đó \(OL\) đi qua trung điểm của \(MN\).

Số học sinh đạt điểm từ \[4\] đến dưới \[6\] là \(11\) học sinh.