Cho tam giác nhọn \[ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\], \[D\] là điểm chính giữa trên cung nhỏ \[BC\] của đường tròn \[\left( O \right),\]\(H\) là chân đường cao kẻ từ A của tam giác \[ABC.\] Hai điểm \[K,\,\,L\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[H\] lên \[AB\] và \[AC.\]

a) Chứng minh \[AL.CB = AB.KL.\]

b) Lấy điểm \[E\] trên đoạn thẳng \[AD\] sao cho \[BD = DE\]. Chứng minh \[E\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC.\]

c) Đường thẳng \[KL\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại hai điểm \[M,N\] (\[K\] nằm giữa \[M,L\]). Chứng minh \[AM = AN = AH.\]

a)  Giải phương trình: \[2x\sqrt {2x + 3}  = 3{x^2} + 6x + 1.\] 

ĐKXĐ: \[x \ge \frac{{ - 3}}{2}\]

Ta có

Pt \[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 3 + 2x\sqrt {2x + 3}  = 4{x^2} + 8x + 4 \Leftrightarrow {\left( {x + \sqrt {2x + 3} } \right)^2} = {\left( {2x + 2} \right)^2}\]

    \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \sqrt {2x + 3}  = 2x + 2\\x + \sqrt {2x + 3}  =  - 2x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3}  = x + 2\\\sqrt {2x + 3}  =  - 3x - 2\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 2x + 1 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le  - \frac{2}{3}\\9{x^2} + 10x + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x =  - 1\,(n)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le  - \frac{2}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,(n)\\x =  - \frac{1}{9}\,\,(l)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm là \[x =  - 1\].

b)  Giải hệ phương trình:

       \[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 4xy + 3x - 4y - 4 = \sqrt {9\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right)} \;\\\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 2y}  = \sqrt {2x - 2y + 5} .\;\end{array} \right.\]

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right) \ge 0\\x + 1 \ge 0\\x - 2y \ge 0\\2x - 2y + 5 \ge 0\end{array} \right.\)

Ta có phương trình (2)

 \( \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right)}  + x - 2y = 2\left( {x - y} \right) + 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right)}  = 4 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right)}  = 2\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right) = 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + x - 2y = 4\,\,(*)\end{array}\)

Ta có phương trình (1)

 \[ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right) + x - 4 = \sqrt {9\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right)} \;\]

\[ \Leftrightarrow 8 + x - 4 = \sqrt {36\left( {x - 1} \right)} \;\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {36\left( {x - 1} \right)} \; = x + 4\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\36\left( {x - 1} \right)\; = {x^2} + 8x + 16\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\{x^2} - 28x + 52 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\,\,\,(n)\\x = 26\,\,\,(n)\end{array} \right.\end{array} \right.\]

+ Với \(x = 2\) thay vào (*) ta có:

pt\({\rm{(*)}} \Leftrightarrow 4 - 4y + 2 - 2y = 4 \Leftrightarrow  - 6y =  - 2 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

+ Với \(x = 26\) thay vào (*) ta có:

\({\rm{(*)}} \Leftrightarrow 676 - 52y + 26 - 2y = 4 \Leftrightarrow  - 54y =  - 698 \Leftrightarrow y = \frac{{349}}{{27}}.\)(thỏa mãn).

            Kết luận: Hệ có 2 nghiệm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right.\) và  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 26\\y = \frac{{349}}{{27}}\end{array} \right.\).

a) Tìm \(m\) để phương trình có \[2\] nghiệm trái dấu.

            Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

            \[{x_1}.{x_2} < 0 \Leftrightarrow 3{m^2} - 8m + 5 < 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {3m - 5} \right) < 0\]

            \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\3m - 5 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\3m - 5 > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m < \frac{5}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m > \frac{5}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < \frac{5}{3}\]

            Vậy \[1 < m < \frac{5}{3}\] thì thỏa yêu cầu bài toán.

b) Tìm \(m\) để phương trình có \[2\] nghiệm \[{x_1};\,\,{x_2}\] phân biệt thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 + 2x_2^2 - 3{x_1}{x_2} = {x_1} - {x_2}\)

            Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

      \[\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - 3{m^2} + 8m - 5 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 - 3{m^2} + 8m - 5 > 0\\ \Leftrightarrow  - 2{m^2} + 2m + 4 > 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 2\end{array}\]

            Theo định lý Vi-et ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 3)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x_1}{x_2} = 3{m^2} - 8m + 5\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

            Theo đề ta có

            \(x_1^2 + 2x_2^2 - 3{x_1}{x_2} = {x_1} - {x_2} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right) = {x_1} - {x_2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 0\\{x_1} - 2{x_2} - 1 = 0\end{array} \right.\)

+ TH1: \[{x_1} - {x_2} = 0\] (loại vì \[{x_1} \ne {x_2}\]).

+ TH2: \[{x_1} - 2{x_2} - 1 = 0\], kết hợp với (1) ta có hệ: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 3} \right)\\{x_1} - 2{x_2} - 1 = 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_2} = 2m - 7\\{x_1} = 2{x_2} + 1\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{{2m - 7}}{3}\\{x_1} = \frac{{4m - 11}}{3}\end{array} \right.\]

            Thay \({x_1};{x_2}\) tìm được vào (2) ta có:

            \[\begin{array}{l}\frac{{4m - 11}}{3}.\frac{{2m - 7}}{3} = 3{m^2} - 8m + 5\\ \Leftrightarrow 19{m^2} - 22m - 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\,\,\,\,\left( l \right)\\m = \frac{{ - 16}}{{19}}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\]

            Kết hợp với điều kiện ta có \[m = \frac{{ - 16}}{{19}}\]thì thỏa yêu cầu bài toán.

a)  Giải phương trình: \[2x\sqrt {2x + 3}  = 3{x^2} + 6x + 1.\] 

ĐKXĐ: \[x \ge \frac{{ - 3}}{2}\]

Ta có

Pt \[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 3 + 2x\sqrt {2x + 3}  = 4{x^2} + 8x + 4 \Leftrightarrow {\left( {x + \sqrt {2x + 3} } \right)^2} = {\left( {2x + 2} \right)^2}\]

    \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \sqrt {2x + 3}  = 2x + 2\\x + \sqrt {2x + 3}  =  - 2x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3}  = x + 2\\\sqrt {2x + 3}  =  - 3x - 2\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 2x + 1 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le  - \frac{2}{3}\\9{x^2} + 10x + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x =  - 1\,(n)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le  - \frac{2}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,(n)\\x =  - \frac{1}{9}\,\,(l)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm là \[x =  - 1\].

b)  Giải hệ phương trình:

       \[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 4xy + 3x - 4y - 4 = \sqrt {9\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right)} \;\\\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 2y}  = \sqrt {2x - 2y + 5} .\;\end{array} \right.\]

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right) \ge 0\\x + 1 \ge 0\\x - 2y \ge 0\\2x - 2y + 5 \ge 0\end{array} \right.\)

Ta có phương trình (2)

 \( \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right)}  + x - 2y = 2\left( {x - y} \right) + 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right)}  = 4 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right)}  = 2\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right) = 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + x - 2y = 4\,\,(*)\end{array}\)

Ta có phương trình (1)

 \[ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right) + x - 4 = \sqrt {9\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right)} \;\]

\[ \Leftrightarrow 8 + x - 4 = \sqrt {36\left( {x - 1} \right)} \;\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {36\left( {x - 1} \right)} \; = x + 4\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\36\left( {x - 1} \right)\; = {x^2} + 8x + 16\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\{x^2} - 28x + 52 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\,\,\,(n)\\x = 26\,\,\,(n)\end{array} \right.\end{array} \right.\]

+ Với \(x = 2\) thay vào (*) ta có:

pt\({\rm{(*)}} \Leftrightarrow 4 - 4y + 2 - 2y = 4 \Leftrightarrow  - 6y =  - 2 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

+ Với \(x = 26\) thay vào (*) ta có:

\({\rm{(*)}} \Leftrightarrow 676 - 52y + 26 - 2y = 4 \Leftrightarrow  - 54y =  - 698 \Leftrightarrow y = \frac{{349}}{{27}}.\)(thỏa mãn).

            Kết luận: Hệ có 2 nghiệm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right.\) và  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 26\\y = \frac{{349}}{{27}}\end{array} \right.\).